সৃজনশীলঃ ‘চিত্রটি লক্ষ কর…’ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না। কারণ এক্ষেত্রে গুণফলের মান সমান হলেও দিক বিপরীতমুখী হয়ে থাকে।

মনে করি, $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ দুটি ভেক্টর রাশি এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$

এখন, $\overrightarrow{P}$ ও $\overrightarrow{Q}$ ভেক্টর দুটির ক্রস গুণন,

$\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}=\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$ .............(1) [এখানে, $\hat{n}$ একটি একক ভেক্টর]

এবং $\overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}=\hat{n}\mathrm{PQ}\sin (-\theta )=-\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$

$\therefore \overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}=-\hat{n}\mathrm{PQ}\sin \theta$...............(2)

$\left(1\right)$ ও $\left(2\right)$ নং সমীকরণ হতে পাই,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}=-\overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}\\ \therefore & \overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}\ne \overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{P}\end{array}$

অর্থাৎ, ভেক্টর গুণন বিনিময় সূত্র মেনে চলে না।

এখানে,
$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1-2)\hat{i}+(2+3)\hat{j}+(-8-4)\hat{k}\\ & =-\hat{i}+5j-12\hat{k}\\ & \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(3-2\hat{i})+(3+3)\hat{j}+(-2-4)\hat{k}\\ & =i+6j-6k\end{array}$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos \angle \mathrm{BAC}$

বা, $\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\mid \overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

$=\frac{(-1)\times 1+5\times 6+(-12)\times (-6)}{\sqrt{(-1{)}^2+5^2+(-12{)}^2}\sqrt{1^2+6^2+(-6{)}^2}}$

বা, $\cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{-1+30+72}{\sqrt{170}\times \sqrt{73}}$

$\therefore \angle \mathrm{BAC}={\cos }^{-1}\left(\frac{101}{111.4}\right)={24.95}^{\circ }$

অতএব, $\angle \mathrm{BAC}$ কোণ ${24.95}^{\circ }$

এখানে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\hat{i}+5\hat{j}-12\hat{k}$ ['গ' হতে]

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\hat{i}+6\hat{j}-6\hat{k}$ ['গ' হতে]

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{BC}(3-1)\hat{i}+(3-2)\hat{j}+(-2+8)\hat{k}$

$=2\hat{i}+\hat{j}+6\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

$\begin{array}{cc}& =\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -1& 5& -12\\ 2& 1& 6\end{array}\right|\\ & =\hat{i}(30+12)-\hat{j}(-6+24)+\hat{k}(-1-10)\\ & =42\hat{i}-18\hat{j}-11k\end{array}$

$\therefore (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot \overrightarrow{CA}$
$\begin{array}{cc}& =(42\hat{i}-18\hat{j}-11\hat{k}).(-\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k})\\ & =42\times (-1)+(-18)\times (-6)+(-11)\times 6\\ & =-42+208-66=0\end{array}$

যেহেতু, $(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0$
সুতরাং, $\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{BC}},\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকবে।