সৃজনশীলঃ ‘চিত্রটি লক্ষ কর…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২১ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

যদি দুটি ভেক্টর ও$\overrightarrow{A}ও$overrightarrow{mathrm{B}} কে উপাংশের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়;

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{A}=\hat{ı}{A}_x+\hat{ȷ}{A}_y+\hat{k}{A}_z\\ & \overrightarrow{B}=\hat{ı}{B}_x+\hat{ȷ}{B}_y+\hat{k}{B}_z\end{array}$

তবে,

 ও$\overrightarrow{A}ও$overrightarrow{mathrm{B}} এর যোগফল বা লব্ধি হবে;

দুই বা ততো দেখবেক্টরকে যদি লম্ব উপাংশে বিভক্ত করা যায় তবে তাদের যোজন ও বিয় জন লব্ধি উপাংশের সাহায্যে প্রকাশ করা হচ্ছে উপাংশ সূত্র

ধরি, ∠BAC = $\theta$

A বিন্দুতে অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{A}=2\hat{ı}+3\hat{ȷ}+4\hat{k}$

B বিন্দুতে অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{B}=\hat{i}+2\hat{ȷ}-5\hat{k}$

C বিন্দুতে অবস্থান ভেক্টর, $\overrightarrow{C}=3\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$

$\begin{array}{cc}& \therefore \mathrm{AB}=B-A\\ & \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\ & =(\hat{ı}+2\hat{ȷ}-5\hat{k})-(2\hat{ı}+3\hat{ȷ}+4\hat{k})\\ & =-\hat{i}+5\hat{ȷ}-9\hat{k}\end{array}$

$\begin{array}{cc}& |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\mathrm{AB}\\ & =\sqrt{(-1{)}^2+(5{)}^2+(-9{)}^2}\\ & =\sqrt{1+25+81}\\ & =\sqrt{107}\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}\\ & =(3\hat{i}+3\hat{ȷ}-2\hat{k})-(2\hat{ı}-3\hat{ȷ}+4\hat{k})\\ & =\hat{ı}+6\hat{ȷ}-6\hat{k}\\ & |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\mathrm{AC}\\ & =\sqrt{(1{)}^2+(6{)}^2+(-6{)}^2}\\ & =\sqrt{1+36+36}\\ & =\sqrt{73}\end{array}$

এখন, 

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\mathrm{Cos}\theta \\ & \Rightarrow (\hat{i}+5\hat{ȷ}-9\hat{k})\cdot (\hat{i}+6\hat{ȷ}-6\hat{k})=\sqrt{107}\sqrt{73}\mathrm{Cos}\theta \\ & \Rightarrow -1+30+54=\sqrt{107}\times \sqrt{73}\mathrm{Cos}\theta \\ & \Rightarrow \cos \theta =\frac{83}{\sqrt{107}\sqrt{73}}\\ & \Rightarrow \cos \theta =\frac{83}{88.38}\\ & \Rightarrow \theta ={\mathrm{Cos}}^{-1}\left(\frac{83}{88.38}\right)\\ & \therefore \theta ={20.1}^{\circ }\end{array}$

সুতরাং, ∠BAC = 20.1^০ Ans.

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\\ & =(\hat{ı}+2\hat{ȷ}-5\hat{k})-(2\hat{ı}-3\hat{ȷ}+4\hat{k})\\ & =-\hat{ı}+5\hat{ȷ}-9\hat{k}\\ & \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}\\ & =(3\hat{i}+3\hat{ȷ}-2\hat{k})-(\hat{ı}+2\hat{ȷ}-5\hat{k})\\ & =2\hat{i}+\hat{ȷ}+3\hat{k}\\ & \overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}\\ & =(2\hat{ı}-3\hat{ȷ}+4\hat{k})-(3\hat{i}+3\hat{ȷ}-2\hat{k})\\ & =\hat{ı}-6\hat{ȷ}+6\hat{k}\end{array}$

শর্তানুসারে, $(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0$

হলে ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকবে।

এখন, 

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -1& 5& -9\\ 2& 1& 3\end{array}\right|\\ & =1(15+9)-\hat{ȷ}(-3+18)+\hat{k}(-1-10)\\ & =24\hat{i}-15\hat{ȷ}-11\hat{k}\\ & \therefore \\ & (\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{BC}})\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=(24\hat{i}-15\hat{ȷ}-11\hat{k})\cdot (\hat{i}-6\hat{j}+6\hat{k})\\ & =24+90-66\\ & =0\end{array}$

সুতরাং, AB, BC, CA ভেক্টরত্রয় একই সমতলে অবস্থিত। Ans.