সৃজনশীলঃ ‘চিত্রটি লক্ষ্য কর…’ সিলেট বোর্ড ২০১৯ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

একই রাশি ভিন্ন ভিন্ন এককে পরিমাপ করলে মান ভিন্ন হয়। যেমন যে দণ্ডটির দৈর্ঘ্য মিটার এককে 1 m. সেন্টিমিটার এককে তার মান  100 cm । এভাবে একই রাশি বিভিন্ন জায়গায় বিভিন্ন এককে পরিমাপ করলে বুঝতে সমস্যার সৃষ্টি হয়। এজন্য ইউনিফর্ম পরিমাপ ব্যবস্থা চালু করার লক্ষ্যে পরিমাপের এককের আন্তর্জাতিক পদ্ধতির প্রয়োজন হয়েছিল ।

দেওয়া আছে, $\overrightarrow{P}=4\hat{ı}+3\hat{ȷ}$

এবং $\overrightarrow{Q}=2\hat{ȷ}+5\hat{k}$

$\begin{array}{cc}& \therefore \overrightarrow{R}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}=4\hat{ı}+3\hat{ȷ}+2\hat{ȷ}+5\hat{k}\\ & =4\hat{ı}+5\hat{ȷ}+5\hat{k}\\ & \therefore \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{R}=16+15+0\end{array}$

বা, PR $\cos \theta =31$

বা, $\cos \theta =\frac{31}{PR}$

বা, $\cos \theta =\frac{31}{\sqrt{4^2+3^2}\times \sqrt{4^2+5^2+5^2}}$

বা, $\cos \theta =0.76$

$\therefore \theta ={40.26}^{\circ }$

অতএব, উদ্দীপকের আলোকে θ =40.26° ।

$\begin{array}{c}\overrightarrow{P}=4\hat{ı}+3\hat{ȷ}\\ \overrightarrow{Q}=2\hat{ȷ}+5\hat{k}\end{array}$

'গ' হতে পাই,

$\overrightarrow{R}=4\hat{ı}+5\hat{ȷ}+5\hat{k}$

এবং θ=40.26^∘

এখন, $\begin{array}{cc}\cos \alpha & =\frac{\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{Q}}{\mathrm{PQ}}=\frac{0+6+0}{\sqrt{4^2+3^2}\times \sqrt{2^2+5^2}}\end{array}$

বা, $\alpha ={77.12}^{\circ }$

$△\mathrm{OAB}$ -এর ক্ষেত্রফল}

$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{R}|=\frac{1}{2}\mathrm{PR}\sin \theta$  $=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+3^2}\times \sqrt{4^2+5^2+5^2}\times \sin {40.26}^{\circ }$

$=\frac{1}{2}\times 26.25$

=13.1 .3 বর্গ একক

$△\mathrm{OBC}$ - এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}|\overrightarrow{Q}\times \overrightarrow{R}|$

$=\frac{1}{2}\mathrm{QR}\sin (\alpha -\theta )$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+5^2}\times \sqrt{4^2+5^2+5^2}$

$\times \sin ({77.12}^{\circ }-{40.26}^{\circ })$

=13.12 বর্গ একক

$\therefore △\mathrm{OAB}+△\mathrm{OBC}=13.13+13.12$ 

=26.254 বর্গ একক 

OABC সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 

$=|\overrightarrow{P}\times \overrightarrow{Q}|=PQ\sin \alpha$

$=\sqrt{4^2+3^2}\times \sqrt{2^2+5^2}\sin {77.12}^{\circ }$

=26.25 বর্গ একক $=△\mathrm{OAB}+\Delta \mathrm{OBC}$

অতএব, △OAB ও ΔOBC -এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিক OABC-এর ক্ষেত্রফলের সমান।