সৃজনশীলঃ ‘C=logk⁡(y+5)logk⁡y এবং D=p−3−523−513.…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $\mathrm{D}=\mathrm{p}-3-5^{\frac{2}{3}}-5^{\frac{1}{3}}$

প্রশ্নমতে, $\mathrm{p}-3-5^{\frac{2}{3}}-5^{\frac{1}{3}}=0$

বা, $p-3=5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}}$

বা, $(p-3{)}^3={(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}})}^3$ [ঘন করে]

বা, ${\mathrm{p}}^3-3{\mathrm{p}}^2\cdot 3+3\mathrm{p}\cdot 3^2-3^3={\left(5^{\frac{2}{3}}\right)}^3+{\left(5^{\frac{1}{3}}\right)}^3+3\cdot 5^{\frac{2}{3}}\cdot 5^{\frac{1}{3}}(5^{\frac{2}{3}}+5^{\frac{1}{3}})$

বা, ${\mathrm{p}}^3-9{\mathrm{p}}^2+27\mathrm{p}-27=5^2+5+{3.5}^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}(\mathrm{p}-3)$

বা, ${\mathrm{p}}^3-9{\mathrm{p}}^2+27\mathrm{p}-27=30+{3.5}^{\frac{3}{3}}(\mathrm{p}-3)$

বা, $p^3-9p^2+27p-27=30+15p-45$

$\therefore p^3-9p^2+12p=12$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\mathrm{C}=\frac{{\log }_{\mathrm{k}}(\mathrm{y}+5)}{{\log }_{\mathrm{k}}\mathrm{y}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{{\log }_{\mathrm{k}}(\mathrm{y}+5)}{{\log }_{\mathrm{k}}\mathrm{y}}=2$

বা, ${\log }_{\mathrm{k}}(\mathrm{y}+5)=2{\log }_{\mathrm{k}}\mathrm{y}$

বা, ${\log }_{\mathrm{k}}(\mathrm{y}+5)={\log }_{\mathrm{k}}{\mathrm{y}}^2$

বা, $y+5=y^2$

বা, $y^2-y-5=0$

$a{x}^2+bx+c=0$ হলে, 

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\therefore y=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4.1(-5)}}{2.1}$

$=\frac{1\pm \sqrt{21}}{2}$

কিন্তু $\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ ঋণাত্মক হওয়ায় তা গ্রহণযোগ্য নয়। 

$\therefore \mathrm{y}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$ (প্রমাণিত)