সৃজনশীলঃ ‘…’ Combined ২০১৮ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\mathrm{AB}$ সরলরেখার সমীকরণ, $5x+9y=27$

$\therefore 5x+9y-27=0........\left(1\right)$.

$\mathrm{AB}$ এর সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,

$5x+9y+k=0.......\left(2\right)$.

(1) ও (2) নং সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব $=\frac{|k-(-27\left)\right|}{\sqrt{5^2+9^2}}$

$=\frac{|k+27|}{\sqrt{25+81}}=\frac{|k+27|}{\sqrt{106}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{|k+27|}{\sqrt{106}}=4$

বা, $\frac{k+27}{\sqrt{106}}=\pm 4$

বা, $k+27=\pm 4\sqrt{106}$

$\therefore k=-27\pm 4\sqrt{106}$

$\therefore k$ এর মান (2)নং এ বসিয়ে পাই,

$5x+9y-27\pm 4\sqrt{106}=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $5x+9y-27\pm 4\sqrt{106}=0$.

$\mathrm{AB}$ সরলরেখার সমীকরণ, $5x+9y=27$

বা, $9y=-5x+27$

$\therefore y=\frac{-5}{9}x+3$

এখানে, ঢাল $m_1=\frac{-5}{9}$

ধরি, অপর ঢাল $m$

$(5,4)$ বিন্দুগামী এবং $m$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y-4=m(x-5).......\left(3\right)$

শর্তমতে, $\tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m-m_1}{1+{\mathrm{mm}}_1}$

বা, $1=\pm \frac{m+\frac{5}{9}}{1-\frac{5m}{9}}$

$=\pm \frac{\frac{9m+5}{9}}{\frac{9-5m}{9}}=\pm \frac{9m+5}{9-5m}$

$\therefore 9m+5=\pm (9-5m)$

'+' চিহ্ন নিয়ে পাই,

$9m+5=9-5m$

বা, $9m+5m=9-5$

বা, $14m=4$

বা, $m=\frac{4}{14}$

$\therefore m=\frac{2}{7}$

'-' চিহ্ন নিয়ে পাই,

$9m+5=-(9-5m)$

বা, $9m+5=-9+5m$

বা, $9m-5m=-9-5$

বা, $4m=-14$

বা, $m=\frac{-14}{4}$

$\therefore m=-\frac{7}{2}$

(3) নং এ $m=\frac{2}{7}$ বসিয়ে পাই, $y-4=\frac{2}{7}(x-5)$

বা, $7y-28=2x-10$

বা, $2x-7y+28-10=0$

$\therefore 2x-7y+18=0$.

আবার, (3) নং এ $m=-\frac{7}{2}$ বসিয়ে পাই,

$y-4=-\frac{7}{2}(x-5)$

বা, $2y-8=-7x+35$

$\therefore 7x+2y-43=0.$

নির্ণেয় সরলরেখা দুইটি যথাক্রমে $2x-7y+18=0$ এবং $7x+2y-43=0$