সৃজনশীলঃ ‘…’ Combined ২০২৬ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A(0,3)$ এবং $B(4,0)$।

প্রথমে $AB$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করি:

$\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

$\frac{y-3}{3-0}=\frac{x-0}{0-4}$

$\frac{y-3}{3}=\frac{x}{-4}$

$-4y+12=3x$

$3x+4y-12=0$ ............ (i)

এখন, $AB$ রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ হবে:

$4x-3y+k=0$ ............ (ii)

যেহেতু লম্ব রেখাটি $C(3,5)$ বিন্দু দিয়ে যায়, তাই এই বিন্দুটি (ii) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে:

$4\left(3\right)-3\left(5\right)+k=0$

$12-15+k=0$

$k=3$

$k$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে $C$ বিন্দু হতে $AB$ এর উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ পাই:

$4x-3y+3=0$ ............ (iii)

এখন (i) ও (iii) নং সমীকরণ সমাধান করলেই লম্বের পাদবিন্দু পাওয়া যাবে।

(i) নং কে ৩ দ্বারা এবং (iii) নং কে ৪ দ্বারা গুণ করে যোগ করি:

$9x+12y-36=0$

$16x-12y+12=0$

যোগ করে পাই, $25x-24=0$

$25x=24$

$x=\frac{24}{25}$

$x$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$3\left(\frac{24}{25}\right)+4y-12=0$

$\frac{72}{25}+4y=12$

$4y=12-\frac{72}{25}$

$4y=\frac{300-72}{25}$

$4y=\frac{228}{25}$

$y=\frac{57}{25}$

সুতরাং, $C$ বিন্দু হতে $AB$ এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু $(\frac{24}{25},\frac{57}{25})$।

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো $A(0,3)$, $B(4,0)$ এবং $C(3,5)$।

প্রথমে $CA$ এবং $CB$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করি।

$CA$ রেখার সমীকরণ:

$\frac{x-3}{3-0}=\frac{y-5}{5-3}$

$\frac{x-3}{3}=\frac{y-5}{2}$

$2x-6=3y-15$

$2x-3y+9=0$ ........ (i)

$CB$ রেখার সমীকরণ:

$\frac{x-3}{3-4}=\frac{y-5}{5-0}$

$\frac{x-3}{-1}=\frac{y-5}{5}$

$5x-15=-y+5$

$5x+y-20=0$ ........ (ii)

(i) ও (ii) নং রেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলোর সমীকরণ:

$\frac{2x-3y+9}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2}}=\pm \frac{5x+y-20}{\sqrt{5^2+1^2}}$

$\frac{2x-3y+9}{\sqrt{4+9}}=\pm \frac{5x+y-20}{\sqrt{25+1}}$

$\frac{2x-3y+9}{\sqrt{13}}=\pm \frac{5x+y-20}{\sqrt{26}}$

$\frac{2x-3y+9}{\sqrt{13}}=\pm \frac{5x+y-20}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}$

$\sqrt{2}(2x-3y+9)=\pm (5x+y-20)$

'-' (ঋণাত্মক) চিহ্ন নিয়ে পাই:

$2\sqrt{2}x-3\sqrt{2}y+9\sqrt{2}=-(5x+y-20)$

$2\sqrt{2}x-3\sqrt{2}y+9\sqrt{2}=-5x-y+20$

$(2\sqrt{2}+5)x-(3\sqrt{2}-1)y+(9\sqrt{2}-20)=0$ ........ (iii)

এখন যাচাই করতে হবে (iii) নং রেখাটি $\angle ACB$ এর অভ্যন্তরীণ সমদ্বিখণ্ডক কি না। $\angle ACB$ এর অভ্যন্তরীণ সমদ্বিখণ্ডক রেখাটির সাপেক্ষে $A(0,3)$ ও $B(4,0)$ বিন্দুদ্বয় বিপরীত দিকে অবস্থান করবে।

(iii) নং সমীকরণের বামপক্ষে $A(0,3)$ বসিয়ে পাই:

$=(2\sqrt{2}+5)\left(0\right)-(3\sqrt{2}-1)\left(3\right)+(9\sqrt{2}-20)$

$=0-9\sqrt{2}+3+9\sqrt{2}-20$

$=-17$ (যাহা ঋণাত্মক)

(iii) নং সমীকরণের বামপক্ষে $B(4,0)$ বসিয়ে পাই:

$=(2\sqrt{2}+5)\left(4\right)-(3\sqrt{2}-1)\left(0\right)+(9\sqrt{2}-20)$

$=8\sqrt{2}+20-0+9\sqrt{2}-20$

$=17\sqrt{2}$ (যাহা ধনাত্মক)

যেহেতু $A$ ও $B$ বিন্দুর জন্য প্রাপ্ত মানদ্বয়ের চিহ্ন বিপরীত, তাই বিন্দুদ্বয় রেখাটির বিপরীত পাশে অবস্থিত। সুতরাং, ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে প্রাপ্ত রেখাটিই নির্ণেয় অভ্যন্তরীণ সমদ্বিখণ্ডক।

নির্ণেয় সমীকরণ:

$(2\sqrt{2}+5)x-(3\sqrt{2}-1)y+(9\sqrt{2}-20)=0$