সৃজনশীলঃ ‘…’ Combined ২০২৬ – ভেক্টর, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-5,4)$।

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:

$2x^2+2y^2-4x-8y+2=0$

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$x^2+y^2-2x-4y+1=0$

বৃত্তটির সমীকরণকে সাধারণ সমীকরণ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:

$2g=-2\Rightarrow g=-1$

$2f=-4\Rightarrow f=-2$

$c=1$

বৃত্তটির কেন্দ্র, $(-g,-f)=(1,2)$

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2-1}=\sqrt{1+4-1}=\sqrt{4}=2$

ধরি, $B(-5,4)$ বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার ঢাল $m$।

রেখাটির সমীকরণ:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-4=m(x-(-5\left)\right)$

$y-4=m(x+5)$

$y-4=mx+5m$

$mx-y+5m+4=0$ ........ (i)

যেহেতু (i) নং রেখাটি প্রদত্ত বৃত্তের একটি স্পর্শক, তাই বৃত্তের কেন্দ্র $(1,2)$ হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ $2$ এর সমান হবে।

শর্তমতে,

$\frac{\left|m\right(1)-(2)+5m+4|}{\sqrt{m^2+(-1{)}^2}}=2$

$\frac{|6m+2|}{\sqrt{m^2+1}}=2$

উভয়পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাই:

$\frac{|3m+1|}{\sqrt{m^2+1}}=1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

$(3m+1{)}^2=m^2+1$

$9m^2+6m+1=m^2+1$

$8m^2+6m=0$

$2m(4m+3)=0$

হয়, $2m=0\Rightarrow m=0$

অথবা, $4m+3=0\Rightarrow m=-\frac{3}{4}$

এখন, (i) নং সমীকরণে $m$ এর মান বসিয়ে পাই:

যখন $m=0$:

$0\cdot x-y+5\left(0\right)+4=0$

$-y+4=0$

$y-4=0$

যখন $m=-\frac{3}{4}$:

$-\frac{3}{4}x-y+5(-\frac{3}{4})+4=0$

উভয়পক্ষকে $4$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$-3x-4y-15+16=0$

$-3x-4y+1=0$

$3x+4y-1=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয়: $y-4=0$ এবং $3x+4y-1=0$।

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, বৃত্তটি তিনটি বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে: $A(2,3)$, $B(-5,4)$ এবং $C(-6,-5)$।

ধরি, বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ:

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ........ (i)

যেহেতু বৃত্তটি $A(2,3)$ বিন্দুগামী,

$2^2+3^2+2g\left(2\right)+2f\left(3\right)+c=0$

$4+9+4g+6f+c=0$

$4g+6f+c+13=0$ ........ (ii)

যেহেতু বৃত্তটি $B(-5,4)$ বিন্দুগামী,

$(-5{)}^2+4^2+2g(-5)+2f(4)+c=0$

$25+16-10g+8f+c=0$

$-10g+8f+c+41=0$ ........ (iii)

যেহেতু বৃত্তটি $C(-6,-5)$ বিন্দুগামী,

$(-6{)}^2+(-5{)}^2+2g(-6)+2f(-5)+c=0$

$36+25-12g-10f+c=0$

$-12g-10f+c+61=0$ ........ (iv)

এখন, (ii) নং হতে (iii) নং বিয়োগ করে পাই:

$(4g-(-10g\left)\right)+(6f-8f)+(13-41)=0$

$14g-2f-28=0$

$2f=14g-28$

$f=7g-14$ ........ (v)

আবার, (iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই:

$(-10g-(-12g\left)\right)+(8f-(-10f\left)\right)+(41-61)=0$

$2g+18f-20=0$

$g+9f-10=0$ ........ (vi)

(vi) নং সমীকরণে $f$ এর মান বসিয়ে পাই:

$g+9(7g-14)-10=0$

$g+63g-126-10=0$

$64g-136=0$

$64g=136$

$g=\frac{136}{64}=\frac{17}{8}$

$g$ এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই:

$f=7\left(\frac{17}{8}\right)-14=\frac{119}{8}-\frac{112}{8}=\frac{7}{8}$

$g$ ও $f$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$4\left(\frac{17}{8}\right)+6\left(\frac{7}{8}\right)+c+13=0$

$\frac{17}{2}+\frac{21}{4}+c+13=0$

$\frac{34+21+52}{4}+c=0$

$\frac{107}{4}+c=0$

$c=-\frac{107}{4}$

এখন $g,f$ ও $c$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$x^2+y^2+2\left(\frac{17}{8}\right)x+2\left(\frac{7}{8}\right)y-\frac{107}{4}=0$

$x^2+y^2+\frac{17}{4}x+\frac{7}{4}y-\frac{107}{4}=0$

উভয়পক্ষকে $4$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$4x^2+4y^2+17x+7y-107=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $4x^2+4y^2+17x+7y-107=0$।