সৃজনশীলঃ ‘cos−1⁡y=msin−1⁡p এবং f(x)=x3−9×2+15x+7…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৪ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$\Rightarrow y=\cos (m\cdot {\sin }^{-1}p)$

$\Rightarrow y_1=-\sin (m\cdot {\sin }^{-1}p)\cdot m\cdot \frac{1}{\sqrt{1-p^2}}$ [P এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

$\Rightarrow y_1\left(\sqrt{1-p^2}\right)=-\sin (m{\sin }^{-1}p)m$

$\Rightarrow y_1=\frac{-\sin (m{\sin }^{-1}p)m}{\sqrt{1-p^2}}\dots \left(i\right)$

$\Rightarrow y_1^2=\frac{-{\sin }^2(m{\sin }^{-1}p)m^2}{(1-p^2)}$ [বর্গ করে]

$\Rightarrow 2y_1{y}_2(1-P^2)+y_1^2(-2P)=(-2)m\sin (m{\sin }^{-1}p)\cdot \cos (m{\sin }^{-1}p).\frac{1}{\sqrt{1-p^2}}$

$\Rightarrow 2y_1{y}_2(1-p^2)-2y_1^{2}p=\frac{\sin (m{\sin }^{-1}p)}{\sqrt{1-p^2}}\cdot y\cdot m^2$

$\Rightarrow 2y_1{y}_2(1-p^2)-2y_1^{2}p=2y_1\cdot y\cdot m^2$

$\Rightarrow (1-p^2)y_2-p{y}_1-m^{2}y=0$ (proved)$

$f\left(x\right)=x^3-9x^2+15x+7$

$x$এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-18x+15$

হ্রাস বা বৃদ্ধি পাবে যদি

$f^{\prime }\left(x\right)=0$ হয়

$\therefore 3x^2-18x+15=0$

$\Rightarrow x^2-6x+5=0\Rightarrow x^2-5x-x+5=0$

$\therefore x=1,5$

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-18x+15$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-18$

x = 1 হলে $f^{\prime \prime }\left(1\right)=6-18=-12<0$

x = 5 হলে $f^{\prime \prime }\left(5\right)=30-18=12>0$

সুতরাং$x=1$এর জন্য$f\left(x\right)$এর মান বৃদ্ধি পাবে

$x=5$ এর জন্য f(x) এর মান হ্রাস পাবে

ধরি,

$y=f\left(x\right)$

$=x^3-9x^2+15x+7$

$x=1,y=1-9+15+7=23-9=14$

$\therefore (x,y)=(1,14)$

x = 5 হলে, $y=125-9\times 25+15\times 5+7$

= -18

$\therefore (x,y)=(5,-18)$