সৃজনশীলঃ ‘cosecA−sin⁡A=m,sec⁡A−cos⁡A=nP=tan⁡θ+sin⁡θ এবং Q=tan⁡θ−sin⁡θ.…’ a – ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\mathrm{cosec}A-\sin A=m$

$\Rightarrow \frac{1}{\sin A}-\sin A=m$

$\Rightarrow \frac{1-{\sin }^{2}A}{\sin A}=m$

$\Rightarrow \frac{{\cos }^{2}A}{\sin A}=m\dots \dots \left(i\right)$

আবার দেওয়া আছে,

$\sec A-\cos A=n$

$\Rightarrow \frac{1}{\cos A}-\cos A=n$

$\Rightarrow \frac{1-{\cos }^{2}A}{\cos A}=n$

$\Rightarrow \frac{{\sin }^{2}A}{\cos A}=n\dots \dots \left(ii\right)$

এখন, $\left(ii\right)$ নং সমীকরণকে $\left(i\right)$ নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{\frac{{\sin }^{2}A}{\cos A}}{\frac{{\cos }^{2}A}{\sin A}}=\frac{n}{m}$

$\Rightarrow \frac{{\sin }^{2}A}{\cos A}\times \frac{\sin A}{{\cos }^{2}A}=\frac{n}{m}$

$\Rightarrow \frac{{\sin }^{3}A}{{\cos }^{3}A}=\frac{n}{m}$

$\Rightarrow {\tan }^{3}A=\frac{n}{m}$

উভয়পক্ষকে ঘনমূল (cube root) করে পাই,

$\therefore \tan A=\sqrt[3]{\frac{n}{m}}$

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$P=\tan \theta +\sin \theta$

$Q=\tan \theta -\sin \theta$

বামপক্ষ,

$L.H.S=P^2-Q^2$

মান বসিয়ে পাই,

$=(\tan \theta +\sin \theta {)}^2-(\tan \theta -\sin \theta {)}^2$

আমরা বীজগণিতের সূত্র হতে জানি,

$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$

$=4\tan \theta \sin \theta$

$=4\sqrt{{\tan }^2\theta {\sin }^2\theta }$

$=4\sqrt{{\tan }^2\theta (1-{\cos }^2\theta )}$

$=4\sqrt{{\tan }^2\theta -{\tan }^2\theta {\cos }^2\theta }$

$=4\sqrt{{\tan }^2\theta -\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }\cdot {\cos }^2\theta }$

$=4\sqrt{{\tan }^2\theta -{\sin }^2\theta }$

এটিকে $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ সূত্রে ভেঙে পাই,

$=4\sqrt{(\tan \theta +\sin \theta )(\tan \theta -\sin \theta )}$

$=4\sqrt{PQ}$

$=R.H.S$

$\therefore P^2-Q^2=4\sqrt{PQ}$ (দেখানো হলো)