সৃজনশীলঃ ‘φ=cos⁡X.…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৪ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\phi \left(x\right)=\cos x$

$\therefore \phi \left(2x\right)=\cos 2x$

$\phi \left(4x\right)=\cos 4x$

$\phi \left(8x\right)=\cos 8x$

$\phi \left(14x\right)=\cos 14x$

এবং

$x=\frac{\pi }{15}$

$\therefore \phi \left(2x\right)\cdot \phi \left(4x\right)\cdot \phi \left(8x\right)\cdot \phi \left(14x\right)$

$=\cos \frac{2\pi }{15}\cdot \cos \frac{4\pi }{15}\cdot \cos \frac{8\pi }{15}\cdot \cos \frac{14\pi }{15}$

$=\cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta \cdot \cos 7\theta$ [ধরি, $\frac{2\pi }{15}=\theta ]$

$=\frac{1}{2\sin \theta }\cdot 2\sin \theta \cdot \cos \theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta \cdot \cos 7\theta$

$=\frac{1}{2\sin \theta }\cdot \sin 2\theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta \cdot \cos 7\theta$

$=\frac{1}{4\sin \theta }\cdot 2\sin 2\theta \cdot \cos 2\theta \cdot \cos 4\theta \cdot \cos 7\theta$

$=\frac{1}{4\sin \theta }\cdot \sin 4\theta \cdot \cos 4\theta \cdot \cos 7\theta$

$=\frac{1}{8\sin \theta }\cdot \sin 8\theta \cdot \cos 7\theta$

$=\frac{1}{16\sin \theta }\cdot 2\sin 8\theta \cdot \cos 7\theta$

$=\frac{1}{16\sin \theta }\cdot (\sin 15\theta +\sin \theta )$

$=\frac{1}{16\sin \theta }\cdot (\sin 2\pi +\sin \theta )[2\pi =15\theta ]$

$=\frac{1}{16\sin \theta }\cdot (0+\sin \theta )$

$=\frac{\sin \theta }{16\sin \theta }$

$=\frac{1}{16}$(Ans)

দেওয়া আছে,

$g\left(x\right)=\cos x$

$g\left(y\right)=\cos y$

$\phi (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$

$\phi (\frac{\pi }{2}-y)=\sin y$

$\therefore p\phi \left(x\right)+q\phi \left(y\right)=r=p\phi (\frac{\pi }{2}-x)+q\phi (\frac{\pi }{2}-y)$

বা, $p\cos x+q\cos y=r=p\sin x+q\sin y$

$\therefore p\sin x+q\sin y=r$

$\Rightarrow p^2{\sin }^{2}x+q^2{\sin }^{2}y+2pq\sin x\cdot \sin y=r^2$. ……….(i)

এবং

$P\cos x+q\cos y=r$..........(ii)

$\Rightarrow p^2{\cos }^{2}x+q^2{\cos }^{2}y+2pq\cos x\cdot \cos y=r^2$

(i) ও (ii) যোগ করে,

$p^2{\sin }^{2}x+p^2{\cos }^{2}x+q^2{\sin }^{2}y+q^2{\cos }^{2}y+2pq\sin x\cdot \sin y+2pq\cos x$

$\Rightarrow p^2+q^2+2pq(\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y)=2r^2$

$\Rightarrow p^2+q^2+2pq\cdot \cos (x-y)=2r^2$

$\Rightarrow 2pq\{2{\cos }^2\frac{1}{2}\cdot (x-y)-1\}=2r^2-p^2-q^2$

$\Rightarrow 4pq{\cos }^2\frac{x-y}{2}=2r^2-p^2-q^2+2pq$

$\Rightarrow {\cos }^2\frac{x-y}{2}=\frac{2r^2-(p-q{)}^2}{4\mathrm{pq}}$

$\Rightarrow \cos \frac{x-y}{2}=\pm \sqrt{\frac{2r^2-(p-q{)}^2}{4\mathrm{pq}}}$

$\therefore \phi \left(\frac{x-y}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{2r^2-(p-q{)}^2}{4\mathrm{pq}}}$

(প্রমাণিত)