সৃজনশীলঃ ‘…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি,

উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1---$ (1)

এখানে, উপকেন্দ্র $S(1,0)$, শীর্ষবিন্দু $A(\frac{2}{\sqrt{3}},0)$

$\therefore a=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow a^2=\frac{4}{3}$

আবার,

$ae=1$

$\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot e=1$

$\Rightarrow e=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow e^2=\frac{3}{4}$

এবং

$e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}$

$\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{\frac{4}{3}-b^2}{\frac{4}{3}}$

$\Rightarrow 1=\frac{4}{3}-b^2$

$\Rightarrow b^2=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$

$a^2$ ও $b^2$ এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{\frac{4}{3}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1$

$\Rightarrow \frac{3x^2}{4}+3y^2=1$

$\Rightarrow 3x^2+12y^2=4$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ $3x^2+12y^2=4$

সমাধানঃ দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।

এখানে, শীর্ষবিন্দু $A(2,0)$,

$Z(-1,0)$

ধরি, উপকেন্দ্র $S(\alpha ,\beta )$

$ZS$ এর মধ্যবিন্দু $A$ হওয়ায়, এর স্থানাঙ্ক

$=(\frac{\alpha -1}{2},\frac{\beta +0}{2})$

$\Rightarrow (2,0)=(\frac{\alpha -1}{2},\frac{\beta }{2})$

অর্থাৎ,

$2=\frac{\alpha -1}{2}$

$\Rightarrow \alpha =5$

এবং

$\frac{\beta }{2}=0$

$\Rightarrow \beta =0$

$\therefore$ উপকেন্দ্র $S(5,0)$

নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $x=k---\left(1\right)$ যা $(-1,0)$ বিন্দুগামী।

(1) থেকে পাই, $-1=k\therefore k=-1$

সুতরাং, $x+1=0---\left(2\right)$

মনে করি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$SP=PM$

$\Rightarrow \sqrt{(x-5{)}^2+y^2}=\frac{|x+1|}{\sqrt{1^2}}$

$\Rightarrow x^2-10x+25+y^2=x^2+2x+1$ [বর্গ করে]

$\therefore y^2-12x+24=0$

নির্ণেয় পরাববৃত্তের সমীকরণঃ $y^2-12x+24=0$