সৃজনশীলঃ ‘…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

দুটি ভেক্টরের সমতলে একটি ডানহাতি স্ক্রুকে লম্বভাবে স্থাপন করে প্রথম ভেক্টর থেকে দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে ক্ষুদ্রতর কোণে ঘুরালে যেদিকে অগ্রসর হবে সে দিক হবে ভেক্টর গুনফলের দিক।

মনে করি, A ও B দুইটি ভেক্টর একই সমতলে অবস্থিত। ভেক্টর দুটিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরালে লব্ধির দিক হবে তলের লম্ব বরাবর নিচের দিকে। 

আবার, ভেক্টর দুটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরালে লব্ধির দিক হবে তলের লম্ব বরাবর উপরের দিকে। 

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{F_1}=(-2\hat{ı}+3\hat{ȷ}+\hat{k})N\\ & \overrightarrow{F_2}=(5\hat{ı}+2\hat{ȷ}+2\hat{k})N\end{array}$

$\therefore \overrightarrow{F_1}\times \overrightarrow{F_2}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ -2& 3& 1\\ 5& 2& 2\end{array}\right|$

$\begin{array}{cc}& =\hat{ı}(6-2)-\hat{ȷ}(-4-5)+\hat{k}(-4-15)\\ & =4\hat{ı}+9\hat{ȷ}-19\hat{k}\end{array}$

দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্য হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব ভাবে অবস্থিত।

এখানে,

$\begin{array}{cc}& {\overrightarrow{F}}_1=-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\\ & {\overrightarrow{F}}_2=5\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}\end{array}$

এখন,

$\begin{array}{cc}& {\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2=(-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})+(5\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})\\ & =3\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k}\end{array}$

এবং, 

$\begin{array}{cc}{\overrightarrow{F}}_1-{\overrightarrow{F}}_2& =(-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})-(5\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})\\ & =-7\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\end{array}$

ধরি, $\overrightarrow{F_1}+{\overrightarrow{F}}_2$ ও $\overrightarrow{F_1}-\overrightarrow{F_2}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$

$\therefore ({\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2)\cdot ({\overrightarrow{F}}_1-{\overrightarrow{F}}_2)$

$=|{\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2|\cdot |{\overrightarrow{F}}_1-{\overrightarrow{F}}_2|\cdot \cos \theta$

বা, $(3\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k})\cdot (-7\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$

$=\sqrt{3^2+5^2+3^2}\cdot \sqrt{(-7{)}^2+1^2+(-1{)}^2}\cdot \cos \theta$

বা, $-21+5-3=\sqrt{43}\cdot \sqrt{51}\cos \theta$
বা, $\cos \theta =\left(\frac{-21+5-3}{\sqrt{43}\times \sqrt{51}}\right)$ 
বা, $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{-19}{\sqrt{43}\times \sqrt{51}}\right)={113.94}^{\circ }$

সুতরাং, $({\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2)$ ও $({\overrightarrow{F}}_1-{\overrightarrow{F}}_2)$ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব নয়।