সৃজনশীলঃ ‘…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপক হতে পাই, বৃত্তের কেন্দ্র $C(5,2)$ এবং স্পর্শক রেখার সমীকরণ:

$5x+12y+16=0\dots \left(i\right)$

আমরা জানি,

বৃত্তের কেন্দ্রগামী ব্যাসার্ধ রেখা স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর লম্ব হয়। সুতরাং $CD$ রেখাটি $\left(i\right)$ নং রেখার উপর লম্ব।

ধরি, $CD$ রেখার সমীকরণ:

$12x-5y+k=0\dots \left(ii\right)$

যেহেতু $CD$ রেখাটি কেন্দ্র $C(5,2)$ বিন্দুগামী, তাই $\left(ii\right)$ নং সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,

$12\left(5\right)-5\left(2\right)+k=0$

$\Rightarrow 60-10+k=0$

$\Rightarrow 50+k=0$

$\therefore k=-50$

$k$-এর মান $\left(ii\right)$ নং এ বসিয়ে পাই, $CD$ রেখার সমীকরণ:

$12x-5y-50=0\dots \left(iii\right)$

এখন, স্পর্শবিন্দু $D$ এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য $\left(i\right)$ ও $\left(iii\right)$ নং সমীকরণ সমাধান করতে হবে।

$\left(i\right)\times 5\Rightarrow 25x+60y+80=0$

$\left(iii\right)\times 12\Rightarrow 144x-60y-600=0$

সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই,

$169x-520=0$

$\Rightarrow 169x=520$

$\therefore x=\frac{520}{169}=\frac{40}{13}$

$x$-এর মান $\left(i\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$5\left(\frac{40}{13}\right)+12y+16=0$

$\Rightarrow \frac{200}{13}+12y+16=0$

$\Rightarrow 12y=-16-\frac{200}{13}$

$\Rightarrow 12y=\frac{-208-200}{13}$

$\Rightarrow 12y=-\frac{408}{13}$

$\therefore y=-\frac{408}{13\times 12}=-\frac{34}{13}$

নির্ণেয় স্পর্শবিন্দু $D$ এর স্থানাঙ্ক: $(\frac{40}{13},-\frac{34}{13})$

ধরি, $AB$ জ্যা বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\dots \left(i\right)$

উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, বৃত্তটি $Y$-অক্ষকে $(0,6)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।

যেহেতু বৃত্তটি $(0,6)$ বিন্দুগামী, তাই $\left(i\right)$ নং এ মান বসিয়ে পাই,

$0^2+6^2+2g\left(0\right)+2f\left(6\right)+c=0$

$\Rightarrow 36+12f+c=0\dots \left(ii\right)$

আবার, বৃত্তটি $Y$-অক্ষকে স্পর্শ করায়,

$c=f^2\dots \left(iii\right)$

এখন, $\left(iii\right)$ নং হতে $c$-এর মান $\left(ii\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$36+12f+f^2=0$

$\Rightarrow (f+6{)}^2=0$

$\therefore f=-6$

$f$-এর মান $\left(iii\right)$ নং এ বসালে পাই,

$c=(-6{)}^2=36$

আবার, চিত্রানুসারে বৃত্তটি $X$-অক্ষ হতে $AB=16$ একক দীর্ঘ জ্যা খণ্ডন করে।

আমরা জানি,

$X$-অক্ষ হতে খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য $=2\sqrt{g^2-c}$

প্রশ্নমতে,

$2\sqrt{g^2-c}=16$

বসিয়ে$\Rightarrow \sqrt{g^2-36}=8[c=36\text{ বসিয়ে}]$

উভয়পক্ষকেবর্গকরে$\Rightarrow g^2-36=64\left[\text{উভয়পক্ষকে বর্গ করে}\right]$

$\Rightarrow g^2=64+36$

$\Rightarrow g^2=100$

$\therefore g=\pm 10$

চিত্র হতে স্পষ্টভাবে দেখা যাচ্ছে যে, বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)$ বা $(-g,6)$ প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত।

প্রথম চতুর্ভাগে ভুজ সর্বদা ধনাত্মক হয়, অর্থাৎ $-g>0\Rightarrow g<0$।

কাজেই $g=10$ গ্রহণযোগ্য নয়, সুতরাং $g=-10$ হবে।

এখন, $g,f$ এবং $c$-এর মান $\left(i\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2(-10)x+2(-6)y+36=0$

$\Rightarrow x^2+y^2-20x-12y+36=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $x^2+y^2-20x-12y+36=0$