সৃজনশীলঃ ‘…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখান, A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত যথাক্রনে $F$ ও G মানের সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের লব্ধি $C$.

$\therefore F\cdot AC=G\cdot BC$

বা, $\frac{F}{G}=\frac{BC}{AC}$ ........ (1)

এখন, F ও G অবস্থান বিনিময় করলে অর্থাৎ A বিন্দুতে G

এবং B বিন্দুতে F অবস্থান করলেও লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়ারত থাকে।

সুতরাং, $G\cdot AC=F\cdot BC$

বা, $\frac{G}{F}=\frac{BC}{AC}$...... (2)

সমীকরণ (1) ও (2) হতে পাই,

$\frac{F}{G}=\frac{G}{F}$

বা, $F^2=G^2$

$\therefore F=G$. (দেখানো হলো)

এখন, A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ

সমাতরাল বল $F$ ও $G$ এর লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু C ।

সুতরাং $F\cdot \mathrm{AC}=G\cdot \mathrm{BC}$

বা, $\frac{F}{\mathrm{BC}}=\frac{G}{\mathrm{AC}}$

বা, $\frac{F}{BC}=\frac{G}{AC}=\frac{F+G}{BC+AC}=\frac{F+G}{AB}$ বা, $\frac{G}{AC}=\frac{F+G}{AB}$

$\therefore \mathrm{AC}=\frac{G\cdot \mathrm{AB}}{F+G}$.............(i)

আবার, বল দুটি পরস্পর স্থান বিনিময় করলে যদি এদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু D হয়,

তাহলে, $G\cdot \mathrm{AD}=F\cdot \mathrm{BD}$

বা, $\frac{G}{BD}=\frac{F}{AD}$

বা, $\frac{G}{BD}=\frac{F}{AD}=\frac{F+G}{BD+AD}=\frac{F+G}{AB}$

বা, $\frac{F}{AD}=\frac{F+G}{AB}$

$\therefore \mathrm{AD}=\frac{F\cdot \mathrm{AB}}{F+G}$........(ii)

$\therefore$ দূরত্ব, $x=\mathrm{CD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AC}$

$=\frac{F\cdot \mathrm{AB}}{F+G}-\frac{G\cdot \mathrm{AB}}{F+G}\left[\right(i)$ নং ও (ii) নং হতে]

$=\frac{F\cdot AB-G\cdot AB}{F+G}$

$\therefore x=\frac{F-G}{F+G}\cdot AB$ (প্রমাণিত)