সৃজনশীলঃ ‘…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(1,2)$;

নিয়ামক রেখা $x+2y=1$

বা, $x+2y-1=0$

এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{3}$

ধরি, অধিবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু, $P(x,y)$

অধিবৃত্তের সঙ্গানুসারে, $\frac{SP}{PM}=e$ বা, $SP=e.PM$

বা, $\sqrt{(x-1{)}^2+(y-2{)}^2}=\sqrt{3}\cdot \left|\frac{x+2y-1}{\sqrt{1^2+2^2}}\right|$

বা, $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=3\frac{(x+2y-1{)}^2}{5}$ [বর্গ করে]

বা, $5(x^2-2x+1)+5(y^2-4y+4)=3(x^2+4y^2+1+4xy-4y-2x)$

বা, $5x^2-10x+5+5y^2-20y+20=3x^2+12y^2+3+12xy-12y-6x$

বা, $5x^2-10x+5+5y^2-20y+20-3x^2-12y^2-3-12xy+12y+6x=0$

$\therefore 2x^2-7y^2-12xy-4x-8y+22=0$

ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে, শীর্ষবিন্দু A(-1, 1) এবং উপকেন্দ্র S(2, – 3)

ধরি, অক্ষ ও দিকাক্ষের ছেদবিন্দু $Z(\alpha ,\beta )$

যেহেতু A, ZS এর মধ্যবিন্দু তাই Z এর স্থানাঙ্ক,

অর্থাৎ $\frac{\alpha +2}{2}=-1$

বা, $\alpha +2=-2$

$\therefore \alpha =-4$

এবং $\frac{\beta -3}{2}=1$

বা, $\beta -3=2$

বা, $\beta =5$

অতএব, Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\equiv (-4,5)$

এখন, AS রেখার সমীকরণ, $\frac{x+1}{-1-2}=\frac{y-1}{1+3}$

বা, $\frac{x+1}{-3}=\frac{y-1}{4}$

বা, $4(x+1)=-3(y-1)$

বা, $4x+4+3y-3=0$

$\therefore 4x+3y+1=0.......\left(1\right)$

দিকাক্ষ রেখা অক্ষরেখার উপর লম্ব এবং Z বিন্দুগামী।

(1) নং রেখার লম্বরেখার সমীকরণ, $3x-4y+k=0$ ........ (2)

(2) নং সরলরেখাটি $(-4,5)$ বিন্দুগামী, $3\times (-4)-4\times 5+k=0$

বা, $-12-20+k=0$

$\therefore k=32.........\left(3\right)$

সুতরাং (2) নং সমীকরণটি, $3x-4y+32=0$

ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

বা, $\sqrt{(x-2{)}^2+(y+3{)}^2}=\left|\frac{3x-4y+32}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}\right|$.

বা, $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=\frac{(3x-4y+32{)}^2}{25}$

বা, $25(x^2-4x+4)+25(y^2+6y+9)$

$=9x^2+16y^2+1024-24xy-256y+192x$

বা, $25x^2-100x+100+25y^2+150y$

$+225-9x^2-16y^2+24xy+256y-192x-1024=0$

$\therefore 16x^2+9y^2+24xy-292x+406y-699=0$

ইহা নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।