সৃজনশীলঃ ‘…’ কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ ২০২৪ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

0 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,0)

c বিন্দুর স্থানাঙ্ক (10,8)

OABC সমান্তরিকের OA এবং BC বাহু পরস্পর সমান্তরাল। আবার OA বাহু x অক্ষ।

$\therefore BC$বাহুর সমীকরণ,

y = b ...... (i)

আবার, $BC$বাহু$C(10,8)$বিন্দুগামী।

$\therefore 8=b$

(i) নং এ b এর মান বসিয়ে পাই,

y = 8 ..... (ii)

$OB$রেখার সমীকরণ, $y=8x$ ...... (iii)

(ii) নং রেখা ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দু B.

(ii) নং এর y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

8 = 8x

$\therefore x=1$

$\therefore B$বিন্দুর স্থানাঙ্ক$(1,8)$

OC রেখার সমীকরণ,

$y-0=\frac{8-0}{10-0}(x-0)$

$\Rightarrow y=\frac{4}{5}x$

$\Rightarrow 5y=4x$

$\Rightarrow 4x-5y=0.....\left(iv\right)$

ধরি, $B$হতে অঙ্কিত লম্ব$OC$রেখার উপর $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$\therefore OC$ রেখা ও  BP রেখা পরস্পর লম্ব।

$\therefore BP$ রেখার সমীকরণ,

$5x+4y+k=0.....\left(v\right)$

আবার, BP রেখা $B(1,8)$বিন্দুগামী।

$\therefore 5\cdot 1+4\cdot 8+k=0$

$\Rightarrow 5+32+k=0$

$\Rightarrow k=-37$

(v) নং এ k- এর মান বসিয়ে পাই,

$5x+4y-37=0......\left(vi\right)$

(iv) নং রেখা নং (vi) নং রেখা P বিন্দুতে ছেদ করে এবং এটিই নির্ণেয় পদ বিন্দু।

(iv) $\times 4+$ (vi) $\times 5$ হতে পাই,

$16x-20y=0$

$25x+20y-185=0$

$41x-185=0$

$\Rightarrow 41x=185$

$\Rightarrow x=\frac{185}{41}$

(iv) নং x-এর মান বসিয়ে পাই,

$4\times \frac{185}{41}-5y=0$

$\Rightarrow \frac{740}{41}-5y=0$

$\Rightarrow 5y=\frac{740}{41}$

$\Rightarrow y=\frac{740}{41\times 5}$

$\therefore y=\frac{148}{41}$

$\therefore p$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{185}{41},\frac{148}{41})$ Ans.

$OABC$সমান্তরিকের$OB$রেখা$3AC$পরস্পর সমান্তরাল।

$OB$রেখার সমীকরণ$y=8x$

$\Rightarrow 8x-y=0.....\left(i\right)$

$\therefore AC$রেখার সমীকরণ,

$8x-y+k=0.....\left(ii\right)$

আবার, $AC$ রেখা $C(10,8)$বিন্দুগামী

$8\times 10-8+k=0$

$\Rightarrow 80-8+k=0$

$\Rightarrow 72+k=0$

$\therefore k=-72$

(i) নং এ k এর মান বসিয়ে পাই,

$8x-y-72=0.....\left(iii\right)$

আবার, $A\times$রেখা $x$-অক্ষের সমীকরণ,

$\therefore y=0$ ..... (iv)

$\angle CAX$ কোণের সমদ্বিখন্ডক হল (iii) নং এবং (iv) নং সমীকরণের মধ্যবর্তী সূক্ষকোণের সমদ্বিখন্ডের সমীকরণ,

এখন,  $a_1{a}_2+b_1{b}_2=8\times 0+(-1)\times 1=-1<0$

$\therefore$ (iii) নং এবং (iv) এর সূক্ষকোণের সমদ্বিখন্ডের সমীকরণ নিম্নরূপ :

$\frac{8x-y-72}{\sqrt{8^2+(-1{)}^2}}=\frac{y}{\sqrt{0^2+1^2}}$

$\Rightarrow \frac{8x-y-72}{\sqrt{65}}=\frac{y}{1}$

$\Rightarrow 8x-y-72=\sqrt{65y}$

$\Rightarrow 8x-y-\sqrt{65}y-72=0$

$\Rightarrow 8x-y(\sqrt{65}+1)-72=0$

$\Rightarrow 8x-y(\sqrt{65}+1)=72$

$\Rightarrow \frac{x}{9}+\frac{y}{\frac{-72}{(\sqrt{65}+1})}=1$ ..... (v)

$\therefore$ (v) নং$y$-অক্ষকে$(0,\frac{-72}{\sqrt{65+1}})$ বিন্দুতে ছেদ করে।