সৃজনশীলঃ ‘দেওয়া আছে, A(1,4a)…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A (1, 4 a)$ এবং $B (5, a^{2} - 1)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $= - 1$ .

উত্তর:

যদি $A (1, - 1), B (t, 2)$ এবং $C (t^{2}, t + 3)$ বিন্দু তিনটি সমরেখ হয়, তাহলে AB ও BC রেখার ঢাল পরস্পর সমান।

এখন, AB রেখার ঢাল $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2 - (- 1)}{t - 1} = \frac{3}{t - 1}$

আবার, BC রেখার ঢাল $= \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{t + 3 - 2}{t^{2} - t} = \frac{t + 1}{t^{2} - t}$

অতএব, AB রেখার ঢাল = BC রেখার ঢাল

বা, $\frac{3}{t - 1} = \frac{t + 1}{t^{2} - t}$

বা, $3 t^{2} - 3 t = t^{2} - 1$

বা, $3 t^{2} - t^{2} - 3 t + 1 = 0$

বা, $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$

বা, $2 t^{2} - 2 t - t + 1 = 0$

বা, $2 t (t - 1) - 1 (t - 1) = 0$

বা, $(2 t - 1) (t - 1) = 0$

হয়, $2 t - 1 = 0$

$t h e r e f o r e t = \frac{1}{2}$

অথবা, $t - 1 = 0$
$∴ t = 1$

অতএব, নির্ণেয় সম্ভাব্য মান, $t = \frac{1}{2}, 1$ .

উত্তর:

‘খ’ হতে প্রাপ্ত, PQRS চতুর্ভুজের

বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(1 - 5)^{2} + (4 - 0)^{2}}$

$= \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ একক

$QR$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(5 - 5)^{2} + (0 - 8)^{2}}$ একক

$= \sqrt{0 + 64} = 8$ একক

$RS$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(5 - 1)^{2} + (8 - 12)^{2}}$ একক

$= \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ একক

$SP$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(1 - 1)^{2} + (12 - 4)^{2}}$ একক

$= \sqrt{0 + 64} = 8$ একক

$∴ PQ$ বাহুর দৈর্ঘ্য $= RS$ বাহুর দৈর্ঘ্য

এবং QR বাহুর দৈর্ঘ্য = SP বাহুর দৈর্ঘ্য।

অর্থাৎ, বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান। সুতরাং, বলা যায় PQRS চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক বা আয়তক্ষেত্র।

আবার, PR কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(1 - 5)^{2} + (4 - 8)^{2}}$ একক

$= \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ একক

এবং QS কর্ণের দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(5 - 1)^{2} + (0 - 12)^{2}}$ একক

$= \sqrt{16 + 144} = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10}$ একক

$∴ PR$ কর্ণের দৈর্ঘ্য $\neq QS$ কর্ণের দৈর্ঘ্য

যেহেতু চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান কিন্তু কর্ণদ্বয় অসমান। সুতরাং চতুর্ভুজটি সামান্তরিক। তা আয়ত নয়।

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর