সৃজনশীলঃ ‘দেওয়া আছে একটি…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

বৈদ্যুতিক পাখার ব্লেডগুলো কখনো সম্পূর্ণভাবে সোজা রাখা হয় না। ব্লেডগুলোর একদিকে নিচে বাঁকানো অবস্থায় রাখা হয়। তাই ব্লেডগুলো ঘোরার সঙ্গে সঙ্গে একটা নিম্নমুখী চাপের সৃষ্টি হয়। ফলে বাতাস নিচের দিকে নেমে আসে।

দেওয়া আছে, 

$\overrightarrow{A}(6xy+z^3)\hat{i}+(3x^2-z)\hat{j}+(3x{z}^2-y)\hat{k}$

সুতরাং, $\overrightarrow{A}$ ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স,

$\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}=(\frac{\partial }{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{k})\cdot \{(6xy+z^3)\hat{i}$
$+(3x^2-z)\hat{j}+(3x{z}^2-y)\hat{k}\}$

$=\frac{\partial }{\partial x}(6xy+z^3)+\frac{\partial }{\partial y}(3x^2-z)+$

$\frac{\partial }{\partial z}(3x{z}^2-y)$

= (6y+0)+(0-0) + (3x.2z-0) = 6y + 6xz = 6(y+xz)

এখন, (2, 1, – 1) বিন্দুতে $\overrightarrow{A}$ ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স,

$\overrightarrow{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}=6\{1+2.(-1\left)\right\}=6(1-2)=-6$

∴ (2,1,-1) বিন্দুতে $\overrightarrow{A}$ ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স হলো – 6। (Ans.)

এখানে, $\overrightarrow{A}(6\mathrm{xy}+z^3)\hat{ı}+(3x^2-z)\hat{ȷ}+(3{\mathrm{xz}}^2-y)\hat{k}$

‘গ’ হতে পাই, $\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{A}\ne 0$

$\therefore \overrightarrow{A}$ ভেক্টরটি সলিনয়ডাল নয়।

এখন, $\overrightarrow{A}$ এর কার্ল:

$\begin{array}{cc}& \overrightarrow{\Delta }\times \overrightarrow{A}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{ı}& \hat{ȷ}& \hat{k}\\ \frac{d}{dx}& \frac{d}{dy}& \frac{d}{dz}\\ 6xy+z^3& 3x^2-z& 3x{z}^2-y\end{array}\right|\\ & =\hat{ı}(-1+1)-\hat{ȷ}(3z^2-3z^2)+\hat{k}(6x-6x)\\ & =0\hat{ı}+0\hat{ȷ}+o\hat{k}\\ & =\overrightarrow{0}\end{array}$

যেহেতু, $\overrightarrow{A}$ এর কার্ল শূণ্য 

$\therefore \overrightarrow{A}$ ভেক্টরটি সংরক্ষণশীল হবে।