সৃজনশীলঃ ‘দেওয়া আছে, φ(x)=cos−1⁡x…’ বরিশাল বোর্ড ২০২২ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

হলে$\phi \left(x\right)+\phi \left(y\right)+\phi \left(z\right)=\pi \text{ হলে, }$

বা, ${\cos }^{-1}x+{\cos }^{-1}y+{\cos }^{-1}z=\pi$

বা, ${\cos }^{-1}\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}=\pi -{\cos }^{-1}z$

বা, $xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=\cos (\pi -{\cos }^{-1}z)$

বা, $xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-\cos ({\cos }^{-1}z)$

বা, $xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=-z$

বা, $\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}=z+xy$

বা, $(1-x^2)(1-y^2)=(z+xy{)}^2$ [বর্গ করে ]

বা, $1-y^2-x^2+x^2{y}^2=z^2+x^2{y}^2+2xyz$

$\therefore x^2+y^2+z^2+2\mathrm{xyz}=1$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $h\left(\theta \right)=\cos \theta -\sin \theta$

প্রদত্ত সমীকরণ, $h\left(\theta \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos \theta -\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $(\cos \theta -\sin \theta {)}^2={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2$ [বর্গ করে]

বা, ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}$

বা, $1-\sin 2\theta =\frac{1}{2}$

বা, $\sin 2\theta =1-\frac{1}{2}$

বা, $\sin 2\theta =\frac{1}{2}$

বা, $\sin 2\theta =\sin \frac{\pi }{6}$

বা, $2\theta =n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$

বা, $\theta =\frac{n\pi }{2}+(-1{)}^n\frac{\pi }{12}$, बেখানে $n\in Z$

এখন, $n=0$ হলে, $\theta =\frac{\pi }{12}$

$n=1$ হলে, $\theta =\frac{5\pi }{12}$

$n=-1$ হলে, $\theta =-\frac{7\pi }{12}$

$n=2$ হলে, $\theta =\frac{13\pi }{12}$

$n=-2$ হলে, $\theta =\frac{-11\pi }{12}$.

$n=3$ হলে, $\theta =\frac{17\pi }{12}$

$n=-3$ হলে, $\theta =\frac{-19\pi }{12}$

কিন্তু $\frac{5\pi }{12}$ এবং $\frac{-11\pi }{12}$ মানসমূহ $(-\pi ,\pi )$ ব্যবধিতে থাকলে ও মানগুলি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না

$\therefore (-\pi ,\pi )$ ব্যবধিতে $\theta$ এর মানসমূহ: $\frac{\pi }{12},\frac{-7\pi }{12}$

নির্ণেয় সমাধান : $\theta =\frac{\pi }{12},\frac{-7\pi }{12}$.