সৃজনশীলঃ ‘…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৭ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

মনে করি, A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে ও বলন্বয় কার্যরত। এদের লম্পির ক্রিয়াবিন্দু C।

$\therefore P\cdot AC=Q\cdot BC$

বা, $\frac{AC}{BC}=\frac{Q}{P}$ ........(i)

P কে (R+ 3) পরিমাণ এবং Q কে (S+2) পরিমাণ বৃদ্ধি করলেও লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু  C বিন্দুতে থাকে।

$\therefore (P+R+3)\cdot \mathrm{AC}=(Q+S+2)\cdot \mathrm{BC}$

বা, $\frac{AC}{BC}=\frac{Q+S+2}{P+R+3}$ ........(ii)

আবার, P এর পরিবর্তে এবং এর পরিবর্তে (R+3) বল ক্রিয়া করলেও লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু C বিন্দুতে থাকে।

$\therefore Q\cdot AC=(R+3)\cdot BC$

বা, $\frac{AC}{BC}=\frac{R+3}{Q}$ ........(iii) 

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2}{P+R+3}=\frac{R+3}{Q}$ ........(iv)

$\therefore \frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2}{P+R+3}$

বা, $\frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2-Q}{P+R+3-P}=\frac{S+2}{R+3}$

$\therefore \frac{Q}{P}=\frac{S+2}{R+3}$........(v)

(iv) ও (v) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\frac{Q}{P}=\frac{R+3}{Q}=\frac{S+2}{R+3}$

বা, $\frac{Q-R-3}{P-Q}=\frac{R+3-S-2}{Q-R-3}$
বা, $\frac{Q-R-3}{P-Q}=\frac{R-S+1}{Q-R-3}$
বা, $(P-Q)(R-S+1)=(Q-R-3{)}^2$
বা, $R-S+1=\frac{(Q-R-3{)}^2}{P-Q}$

$\therefore R=S+\frac{(Q-R-3{)}^2}{P-Q}-1$ (প্রমাণিত)

[বি. দ্র. প্রশ্নে +1এর পরিবর্তে -1 হবে]

'খ' অংশ হতে প্রাপ্ত, P. AC = Q. BC.........(1)

ধরি, R মানের দুইটি সমান অসদৃশ সমান্তরাল বল D ও E বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলো। যেখানে DE = x

ধরি, C ও D বিন্দুতে ক্রিয়ারত P+Q ও R মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি P+Q+R যা AB রেখার G বিন্দুতে ক্রিয়া করে। সুতরাং (P+Q. CG = R. DG.........(2)

এখন G ও E বিন্দুতে (P+Q+R) ও R মানের দুইটি অসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি = (P+Q+R)-R = P+Q যা AB রেখার ০ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

সুতরাং, (P+Q+R). GO = R. EO

বা, (P+Q). GO (EO-GO). R

বা, (P+Q). GO = EG.R.........(3)

এখন, (3)নং হতে (2)নং বিয়োগ করে পাই,

(P+Q). (GO - CG) = (EG – DG). R

বা, (P+Q). CO = DE. R

বা, (P+Q). CO = x. R

বা, $\mathrm{CO}=\frac{\mathrm{xR}}{P+Q}$

অর্থাৎ, অসদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয়ের লব্ধি $\frac{xR}{P+Q}$  দূরত্বে সরে যাবে। 

(প্রমাণিত)