সৃজনশীলঃ ‘…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৯ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

উপকেন্দ্র $S(-6,-6)$

এবং শীর্ষবিন্দু $A(-2,2)$

ধরি, $Z(a,b)$

ZS এর মধ্যবিন্দু $(\frac{a-6}{2},\frac{b-6}{2})$

প্রশ্নমতে,

$\frac{a-6}{2}=-2$

বা, $a-6=-4$  

বা, $a=2$

এবং $\frac{b-6}{2}=2$}

বা, $b-6=4$

বা, $b=10$

$\therefore Z(2,10)$

$\mathrm{ZS}$ রেখার ঢাল $=\frac{-6-10}{-6-2}=\frac{-16}{-8}=2$

$\therefore$ নিয়ামক রেখার ঢাল $=\frac{-1}{2}$

$Z(2,10)$ বিন্দুগামী নিয়ামকরেখার সমীকরণ,

$y-10=\frac{-1}{2}(x-2)$

বা, $2y-20=-x+2$

বা, $x+2y-22=0$

ধরি, পরাব্ত্তের উপর যেকোন বিন্দু $P(x,y)$

সংজ্ঞানুসারে, $\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

বা, ${\mathrm{SP}}^2={\mathrm{PM}}^2$

বা, $(x+6{)}^2+(y+6{)}^2=\frac{(x+2y-22{)}^2}{1+4}$

বা, $5(x^2+12x+36+y^2+12y+36)=(x+2y-22{)}^2$

বা, $5x^2+5y^2+60x+60y+360=x^2+4y^2+$$484+4xy-88y-44x$

বা, $4x^2-4xy+y^2+104x+148y-124=0$

বা, $(2x-y{)}^2+104x+148y-124=0$

$\therefore$ পরাবৃত্তটির সমীকরণ $(2x-y{)}^2+104x+148y-$$124=0$.

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র S(2,-1)

নিয়ামক $MZ{M}^{\prime }$ বা, $x-2y+2=0$

এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$S(2,-1)$ হতে, MZM' এর দূরত্ব $=\frac{|2+2+2|}{\sqrt{1+4}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$

প্রশ্নমতে, $\mathrm{SZ}=\frac{6}{\sqrt{5}}$

বা, $ae+\frac{a}{e}=\frac{6}{\sqrt{5}}$

বা, $a\left(\frac{e^2+1}{e}\right)=\frac{6}{\sqrt{5}}$

বা, $a\left(\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)=\frac{6}{\sqrt{5}}[\because e=\frac{1}{\sqrt{2}}]$

বা, $a\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{6}{\sqrt{5}}$

বা, a. $\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$

বা, $a=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

চিত্রে, $d=\frac{a}{e}-ae$

$=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\times \sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2.2}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

ধরি, NZ'N' অনুরূপ নিয়ামক রেখা;

$x-2y+k=0.......\left(i\right)$

$S(2,-1)$ হতে, (i) নং এর দূরত্ব = d

বা, $\frac{|2+2+k|}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

বা, $|4+k|=2$

বা, $k+4=\pm 2$

বা, $k=\pm 2-4=-2,-6$

$k=-2$ গ্রহণয়াগ্য নয়।

সুতরাং $k=-6$ হলে, (i)নং রেখাটি, $x-2y-6=0$

$\therefore S(2,-1)$ এর অনুরূপ ${\mathrm{NZ}}^{\prime }{N}^{\prime }$ নিয়ামক, $x-2y-6=0$

ধরি, উপব্ত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

সংজ্ঞানুসারে,

$\mathrm{SP}=\mathrm{ePN}$

বা, $\sqrt{(x-2{)}^2+(y+1{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{|x-2y-6|}{\sqrt{5}}$

বা, $x^2-4x+4+y^2+2y+1=\frac{(x-2y-6{)}^2}{10}$ [বর্গ করে]

বা, $10(x^2+y^2-4x+2y+5)=x^2+4y^2+36-$

$4xy+24y-12x$

বা, $10x^2+10y^2-40x+20y+50=x^2+4y^2-$

$4xy-12x+24y+36$

$\therefore 9x^2+4\mathrm{xy}+6y^2-28x-4y+14=0$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ $9x^2+4xy+6y^2-28x-4y+14=0$