সৃজনশীলঃ ‘…’ ঢাকা বোর্ড ২০১৯ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ডানপক্ষ

$=(AB+BC)\sin \frac{B}{2}$

$=(c+a)\sin \frac{B}{2}$

$=b\left(\frac{c+a}{b}\right)\sin \frac{B}{2}$

$=b\frac{2R\sin C+2R\sin A}{2R\cdot \sin B}\sin \frac{B}{2}$

$=b\frac{\sin C+\sin A}{\sin B}\sin \frac{B}{2}$

$=b\frac{2\sin \frac{A+C}{2}\cos \frac{C-A}{2}}{\sin B}\sin \frac{B}{2}$

$=b\frac{2\sin \frac{\pi -B}{2}\cos \frac{C-A}{2}}{\sin B}\sin \frac{B}{2}$

$=b\frac{2\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C-A}{2}}{2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}}\sin \frac{B}{2}$

$=b\cos \frac{C-A}{2}$

$=b\cos \frac{A-C}{2}[\therefore \cos (-\theta )=\cos \theta ]$

$=b\cos \left(\frac{\pi -B-C-C}{2}\right)$

$=b\cos \frac{\pi -(B+2C)}{2}\mid$

$=b\sin \frac{B+2C}{2}$

$=b\sin (\frac{B}{2}+C)=AC\sin (\frac{B}{2}+C)=$ বামপক্ষ

চিত্রে, $\gamma =\alpha +\beta$

বামপক্ষ

$={\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma$

$=\frac{1}{2}(2{\cos }^2\alpha +2{\cos }^2\beta )+{\cos }^2\gamma$

$=\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha +1+\cos 2\beta )+{\cos }^2\gamma$

$=\frac{1}{2}2+\frac{1}{2}(\cos 2\alpha \cos 2\beta )+{\cos }^2\gamma$

$=1+\frac{1}{2}\cdot 2\cos \frac{2\alpha +2\beta }{2}\cdot \cos \frac{2\alpha -2\beta }{2}+{\cos }^2\gamma$

$=1+\cos (\alpha +\beta )\cdot \cos (\alpha -\beta )+{\cos }^2\gamma$

$=1\cos \gamma \cdot [\cos (\alpha -\beta )+\cos \gamma ]$

$=1+2\cos \gamma \cdot \cos \left(\frac{\alpha -\beta +\alpha +\beta }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\alpha -\beta -\alpha -\beta }{2}\right)$

$=1+2\cos \gamma \cdot \cos \alpha \cdot \cos (-\beta )$

$=1+2\cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma$

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)