সৃজনশীলঃ ‘ঢাকা মহানগরী আন্তঃকলেজ…’ ২০২৫ – ভেক্টর, পদার্থবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র (এইচএসসি)

সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হতে হলে স্রোতের সাথে লম্বভাবে নৌকা চালনা করতে হবে। কারণ স্রোতের সাথে লম্বভাবে নৌকা চালনা করলে নৌকার সম্পূর্ণ বেগ নদী পারাপারে সাহায্য করে যা অন্যকোণে নৌকা চালনা করলে সম্ভব নয়। পক্ষান্তরে, সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে হলে স্রোতের বিপরীত দিকে এমনভাবে নৌকা চালনা করতে হবে যাতে নদীর দৈর্ঘ্য বরাবর নৌকার বেগের উপাংশ স্রোতের বেগকে প্রশমিত করতে পারে। তাই বলা যায়, স্রোতের সাথে লম্বভাবে নৌকা চালনা করলে সর্বনিম্ন সময়ে এবং স্রোতের বিপরীত দিকে নির্দিষ্ট কোণে নৌকা চালনা করলে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হওয়া সম্ভব।

 $x$ অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর $=\hat{i}$

উদ্দীপক হতে,
বেগ, $\overrightarrow{v}=\hat{i}+8\hat{j}$
$\therefore |\overrightarrow{v}|=\sqrt{1^2+8^2}=\sqrt{65}$

$\therefore \overrightarrow{v}\cdot \hat{i}=|\overrightarrow{v}||\hat{i}|\cos {\theta }_x$
বা, $1=\sqrt{65}\times 1\cos {\theta }_x$
$\therefore {\theta }_x={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{65}}\right)={82.875}^{\circ }$

অতএব, $x$ অক্ষের সাথে $\overrightarrow{v}$ এর উৎপন্ন কোণ ${82.875}^{\circ }$.

উদ্দীপক হতে, ভেষ্টর ক্ষেত্র, $\overrightarrow{P}=2x^{2}y\hat{i}-xyz\hat{j}+4y{z}^2\hat{k}$$B$ বিন্দু, $(2,1,1)$

এখন, curl $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{\nabla }\times \overrightarrow{P}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{{\partial }_y}& \frac{\partial }{{\partial }_z}\\ 2x^{2}y& -\mathrm{xyz}& 4{\mathrm{yz}}^2\end{array}\right|$

$=\hat{i}\{\frac{\partial }{{\partial }_y}\left(4{\mathrm{yz}}^2\right)-\frac{\partial }{{\partial }_z}(-\mathrm{xyz}\left)\right\}-\hat{j}\{\frac{\partial }{{\partial }_x}\left(4{\mathrm{yz}}^2\right)-\frac{\partial }{{\partial }_z}\left(2x^{2}y\right)\}+\hat{k}\left\{\frac{\partial }{{\partial }_x}\right(-\mathrm{xyz})-\frac{\partial }{{\partial }_y}\left(2x^{2}y\right)\}$
$=\hat{i}(4z^2+\mathrm{xy})-\hat{j}(0-0)+\hat{k}(-\mathrm{yz}-2x^2)$
$=(4z^2+\mathrm{xy})\hat{i}-(2x^2+\mathrm{yz})\hat{k}$

বিন্দুতে$\therefore B\text{ বিন্দুতে, Curl }\overrightarrow{P}=(4\times 1^2+2\times 1)\hat{i}-(2\times 2^2+1\times 1)\hat{k}$
$=6\hat{i}-9\hat{k}$
যেহেতু, B বিন্দুতে Curl $\overrightarrow{P}\ne 0$ তাই ভেক্টরক্ষেত্রটি B বিন্দুতে সংরক্ষণশীল হবে না।