সৃজনশীলঃ ‘…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

উপকেন্দ্র, $S(0,0)$

শীর্ষবিন্দু, $A(-2,-1)$

ধরি, $Z(a,b)$

$SZ$ এর মধ্যবিন্দু

$(\frac{a+0}{2},\frac{b+0}{2})=(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$

প্রশ্নমতে, $(\frac{a}{2},\frac{b}{2})=(-2,-1)$

$\therefore \frac{a}{2}=-2$

বা, $a=-4$

এবং $\frac{b}{2}=-1$

$\therefore Z(-4,-2)$

$\therefore b=-2$

$\mathrm{SZ}$ রেখার বা অক্ষরেখার ঢাল $=\frac{0+2}{0+4}=\frac{1}{2}$

$\therefore$ নিয়ামকরেখার ঢাল $=-2$

$Z(-4,-2)$ বিন্দুগামী নিয়ামকরেখার সমীকরণ,

$y+2=-2(x+4)$

বা, $y+2=-2x-8$

বা, $2x+y+10=0$

নির্ণেয় নিয়ামকরেখা MZM' এর সমীকরণ $2x+y+10=0$.

দেওয়া আছে, ফোকাস, $S(0,0)$

SP: $\mathrm{PM}=1:3$

বা, $\frac{SP}{PM}=\frac{1}{3}$

অর্থাৎ উৎকেন্দ্রিকত, $e=\frac{1}{3}$

নিয়ামকক, $MZ$ বা, $x+y-2=0$

যেহেতু $e<1$ সুতরাং কনিকটি উপবৃত্ত

ধরি, উপবৃত্তের উপর যে কোন বিন্দু $P(x,y)$

সংজ্ঞানুসারে, $SP=e.PM$

বা, $\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}=\frac{1}{3}\frac{|x+y-2|}{\sqrt{1+1}}$

বা, $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{3\sqrt{2}}|x+y-2|$

বা, $x^2+y^2=\frac{1}{18}(x+y-2{)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $18x^2+18y^2=x^2+y^2+2xy-4y-4x+4$

বা, $17x^2-2xy+17y^2+4x+4y-4=0$

$\therefore$ উপবৃত্তটির সমীকরণ, $17x^2-2xy+17y^2+4x+4y-4=0$.