সৃজনশীলঃ ‘…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরে, পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক Z(a,b)

এখানে, পরাবৃতের শীর্ষবিন্দু $O(0,0)$

এবং উপকেন্দ্র $M(4,2)$

যেহেতু, O, MZ এর মধ্যবিন্দু।

$\therefore \frac{a+4}{2}=0$ এবং $\frac{b+2}{2}=0$

বা, $a=-4$ বা, $b=2$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-4,-2)$

এখন, $\mathrm{OM}$ অক্ষরেখার ঢাল $=\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{OM}$ বা MZ অক্ষরেখা M'ZM" নিয়ামকরেখার সাথে লম্ব।

$\therefore \mathrm{MZ}$ রেখার ঢাল= -2

এখন, Z(-4,-2) বিন্দুগামী নিয়ামক রেখার সমীকরণ,

$y+2=-2(x+4)$

বা, $y+2+2x+8=0$

$\therefore 2x+y+10=0$

বা, $\sqrt{(x-4{)}^2+(y-2{)}^2}=\frac{|2x+y+10|}{\sqrt{2^2+1^2}}$

বা, $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{(2x+y+10{)}^2}{5}\cdot$ |বर्গ করে]

বা, $5(x^2+16-8x+y^2+4-4y)=4x^2+y^2+100+4xy+20y+40x$

বা, $5x^2-4x^2+5y^2-y^2-410x-40x-20y-20y-4xy+100-100=0$

$\therefore x^2+4y^2-4\mathrm{xy}-80x-40y=0$

ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

দেওয়া আছে, একটি অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় $M(4,2)$ ও $N(8,2)$

$\therefore$ অধিবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\frac{4+8}{2},\frac{2+2}{2})=(6,2)$

এবং আড় অক্ষ X-অক্ষ বরাবর

ধরি, $(6,2)$ কেন্দ্রবিশিষ্ট অধিবৃত্তটির সমীকরণ

$\frac{(x-6{)}^2}{a^2}-\frac{(y-2{)}^2}{b^2}=1$

এখন, উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $2\mathrm{ae}=\sqrt{(4-8{)}^2+(2-2{)}^2}$

বা, $2a\times 2=\sqrt{16}$ [দেওয়া আছে, উৎকেন্দ্রিকতা, $e=2$ ]

বা, $4a=4$

বা, $a=1\therefore a^2=1$

আবার, $e=2$

বা, $e^2=4$

বা, $1+\frac{b^2}{a^2}=4$

বা, $1+\frac{b^2}{1}=4$

বা, $b^2=4-1$

$\therefore b^2=3$

এখন, $a^2$ ও $b^2$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{(x-6{)}^2}{1}-\frac{(y-2{)}^2}{3}=1$

বা, $x^2+36-12x-\frac{(y^2+4-4y)}{3}=1$

বা, $3x^2-36x+10x-y^2+4y-4=3$

বা, $3x^2-y^2-36x+4y+101=0$

ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।