সৃজনশীলঃ ‘…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

উদ্দীপকের চিত্র হতে,

$2\alpha +2\beta +2\gamma =\pi$

$\Rightarrow \alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}$

এখন,

বামপক্ষ $={\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha +1-\cos 2\beta )+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \lambda$

$=\frac{1}{2}[2-(\cos 2\alpha +\cos 2\beta \left)\right]+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\frac{1}{2}\times 2\cos \frac{2\alpha +2\beta }{2}\cdot \cos \frac{2\alpha -2\beta }{2}+{\sin }^2\gamma +{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$\cos C+\cos D=2\cos \frac{C+D}{2}\cos \frac{C-D}{2}$

$=1-\cos (\alpha +\beta )\cos (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\cos (\frac{\pi }{2}-\gamma )\cos (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma +{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma [i$ নং থেকে $]$

$=1-\sin \gamma \cos (\alpha -\beta )+{\sin }^2\gamma +{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\sin \gamma [\cos (\alpha -\beta )-\sin \gamma ]+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\sin \gamma [\cos (\alpha -\beta )-\sin [\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta \left)\right)]+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\sin \gamma \{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta \left)\right\}+{\sin }^2\gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-\sin \gamma \times 2\sin \alpha \sin \beta +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1-2\sin \gamma \sin \beta \sin \gamma +2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$=1$ = ডানপক্ষ

L.s $=(c-b)\mathrm{Sec}(\frac{A}{2}+B)\bar{s}$$=\frac{2R\sin C-2R\sin B}{\cos (\frac{A}{2}+B)}$

$=\frac{2R(\sin C-\sin B)}{\cos (\frac{A}{2}+B)}$

$=\frac{2R\times 2\cos \frac{C+B}{2}\sin \frac{C-B}{2}}{\cos (\frac{A}{2}+B)}$

$=\frac{4R\cos \frac{B+C}{2}\sin (\frac{C}{2}-\frac{\beta }{2})}{\cos (\frac{A}{2}+B)}$

$=\frac{4R\cos \frac{B+C}{2}\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{B}{2}-\frac{A}{2}-\frac{B}{2})}{\cos (\frac{A}{2}+B)}$

$=\frac{4R\cos \frac{B+C}{2}\sin [\frac{\pi }{2}-(\frac{A}{2}+B)]}{\cos (\frac{A}{2}+B)}$

$=\frac{4R\cos \frac{B+C}{2}\cdot \frac{\cos (\frac{A}{2}+B)}{\cos (A/2+B)}}{\cos \left(\frac{A}{2}\right)}$

$=\frac{4R\cos (\frac{\pi }{2}-A/2)\times \cos \frac{A}{2}}{\cos \left(\frac{A}{2}\right)}$

$=\frac{4R\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$

$=\frac{2R\times 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$

$=\frac{2R\sin 2\cdot \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$

$=\frac{2R\sin A}{\cos \frac{A}{2}}$

$=\frac{a}{\cos \frac{A}{2}}$

$=a\sec \frac{A}{2}=R\cdot S$