সৃজনশীলঃ ‘…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, উপকেন্দ্র, $S(-1,1)$

এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{3}$

নিয়ামকরেখা ${\mathrm{MZM}}^{\prime }:x+2y-3=0$

সঞ্চারপথটির উপর একটি বিন্দু $P(x,y)$ যা একটি উপবৃত্ত।

উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$\mathrm{SP}=e.\mathrm{PM}$

বা, $\sqrt{(x+1{)}^2+(y-1{)}^2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{|x+2y-3|}{\sqrt{1^2+2^2}}$

বা, $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{1}{9}\cdot \frac{(x+2y-3{)}^2}{5}$ [বর্গ করে]

বা, $x^2+2x+1+y^2-2y+1=\frac{1}{45}(x+2y-3{)}^2$

বা, $45(x^2+y^2+2x-2y+2)=x^2+4y^2+9+4xy-6x-12y$

বা, $45x^2+45y^2+90x-90y+90=x^2+4y^2+4xy-6x-12y+9$

$\therefore 44x^2+41y^2-4xy+96x-78y+81=0$

নির্ণেয় সঞ্চারপথটির সমীকরণ, $44x^2+41y^2-4xy+96x-78y+$$81=0$

ধরি, অধিবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ......... (1)

এখানে, $S^{\prime }(-4,0)$ এবং $S(4,0)$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $=2\mathrm{ae}={\mathrm{SS}}^{\prime }=4-(-4)=8$

$\therefore 2\mathrm{ae}=8$

বা, $\mathrm{ae}=4$ ......... (2)

আবার, কেন্দ্র হতে নিয়ামকরেখার দূরত্ব = 3

$\therefore \stackrel{a}{e}=3$ ........ (3)

(2) নং ও (3) নং গুণ করে পাই,

ae $\times \frac{a}{e}=4\times 3$

বা, $a^2=12$

$a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

(2) নং কে (3) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{\mathrm{ae}}{a}=\frac{4}{3}$

বা, $e^2=\frac{4}{3}$

বা, $1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{3}$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{3}-1=\frac{4-3}{3}=\frac{1}{3}$

বা, $b^2=\frac{1}{3}\times a^2=\frac{1}{3}\times 12=4$

$\therefore b=2$

এখন, a ও b এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{(2\sqrt{3}{)}^2}-\frac{y^2}{2^2}=1$

বা, $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

বা, $x^2-3y^2=12$

$\therefore$ অধিবৃত্তের সমীকরণ $x^2-3y^2=12$

$\therefore$ অসীমতটের সমীকরণ, $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{2}{2\sqrt{3}}x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$

নির্ণেয় অধিবৃত্তটির সমীকরণ, $x^2-3y^2=12$ এবং অসীমতটের সমীকরণ, $y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}x$.