সৃজনশীলঃ ‘…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$

বা, $\left\{\right(b+c)+a\}\left\{\right(b+c)-a\}=3bc$

বা, $(b+c{)}^2-a^2=3bc$

বা, $b^2+2bc+c^2-a^2=3bc$

বা, $b^2+c^2-a^2=3bc-2bc$,

বা, $b^2+c^2-a^2=bc$

বা, $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{bc}{2bc}$

বা, $\cos A=\frac{1}{2}=\cos {60}^{\circ }$

$\therefore A={60}^{\circ }$

আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,

$\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\therefore a=2R\sin A,b=2R\sin B,$$c=2R\sin C$

এখন, $\frac{b+c}{2a}=\frac{2R\sin B+2R\sin C}{2\cdot 2R\sin A}$$=\frac{\sin B+\sin C}{2\sin A}=\frac{2\sin \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}}{2\cdot 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}$

$=\frac{\sin \left(\frac{\pi -A}{2}\right)\cos \frac{B-C}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}$$[\because A+B+C=\pi ]$

$=\frac{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}$

$=\frac{\cos \frac{B-C}{2}}{2\sin {30}^{\circ }}[\because A={60}^{\circ }]$

বা, $\frac{b+c}{2a}=\cos \frac{B-C}{2}$

$\therefore \frac{b+c}{a}=2\cos \frac{B-C}{2}$ (দেখানো হলো)

চিত্রে, $△\mathrm{ABC}-$ এ, $A+B+C=\pi$

এখন, $a^3\cos (2C+A-\pi )$

$=a^3\cos (2C+A-A-B-C)=a^3\cos (C-B)$

$=a^3(\cos C\cos B+\sin C\sin B)$

$[\because \cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\cdot \sin B]$

$=a(a\cos Ca\cos B+a\sin Ca\sin B)$

$=a(b-c\cos A)(c-b\cos A)+2R\sin A\cdot \frac{c}{2R}\cdot 2R\sin A\cdot \frac{b}{2R}]$

[যেকোনো এ$△ABC-এ,a=b\cos C+c\cos B,b=c\cos A+a\cos C$

$C=a\cos B+b\cos A$ এবং $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2]$

$=a[bc-c^2\cos A-b^2\cos A+bc{\cos }^{2}A+bc{\sin }^{2}A]$

$=a[bc-(b^2+c^2)\cos A+bc({\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A)]$

$=a[bc-(b^2+c^2)\cos A+bc][\because {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1]$

$=a[2bc-(b^2+c^2)\cos A]$

$\therefore a^3\cos (2C+a-\pi )=2abc-a(b^2+c^2)\cos A\dots \dots ..\left(1\right)$

অনুরূপভাবে,

$b^3\cos (2A+B-\pi )=2abc-b(c^2+a^2)\cos B$ .......... (2)

$c^3\cos (2B+C-\pi )=2abc-c(a^2+b^2)\cos C$ .......... (3)

(1) নং, (2) নং ও (3) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$a^3\cos (2C+A-\pi )+b^3\cos (2A+B-\pi )+c^3\cos (2B+C-\pi )$

$=2abc-a(b^2+c^2)\cos A+2abc-b(c^2$$+a^2\cos B+2abc-c(a^2+b^2)\cos C$

$=6abc-a{b}^2\cos A-a{c}^2\cos A-b{c}^2\cos B$

$-a^{2}b\cos B-a^{2}c\cos C-b^{2}c\cos C$

$=6abc-[a{b}^2\cos A+a^{2}b\cos B+a{c}^2\cos A$

$+a^{2}c\cos C+b{c}^2\cos B+b^{2}C\cos C$

$=6abc-\left[ab\right(b\cos A+a\cos B)+$

$ac(c\cos A+a\cos C)+bc(c\cos B+b\cos C)$

[যেকোনো ত্রিভুজ $ABC$ -এ, $a=b\cos C+c\cos B$$b=c\cos A+a\cos C,C=a\cos B+b\cos A]$

$=6abc-[abc+abc+abc]$

$=6abc-3abc=3abc$

$\therefore a^3\cos (2C+A-\pi )+b^3\cos (2A+B-\pi )$

$=3abc-c^3\cos (2B+C-\pi )$ (প্রমাণিত)