সৃজনশীলঃ ‘দৃশাকল্প-১: f(x)=sin⁡x,g(x)=cos⁡xদৃশ্যকল্প-২ :…’ সরকারি মাইকেল মধুসূদন (এম.এম) কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$f\left(x\right)=\sin x\therefore f(\frac{\pi }{2}-\beta )=\sin (\frac{\pi }{2}-\beta )=\cos \beta$

$g\left(x\right)=\cos x\therefore g(\frac{\pi }{2}-\beta )=\cos (\frac{\pi }{2}-\beta )=\sin \beta$

এখন, $ag\left(\alpha \right)+bf\left(\alpha \right)=af(\frac{\pi }{2}-\beta )+bg(\frac{\pi }{2}-\beta )$

বা, $a\cos \alpha +b\sin \alpha =a\cos \beta +b\sin \beta$

বা, $b(\sin \alpha -\sin \beta )=a(\cos \beta -\cos \alpha )$

বা, b. $2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}=$ a. $2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

বা, $\frac{\cos \frac{\alpha +\beta }{2}}{\sin \frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{a}{b}$

বা, $\frac{{\cos }^2\frac{\alpha +\beta }{2}}{{\sin }^2\frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{a^2}{b^2}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\frac{{\cos }^2\frac{\alpha +\beta }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha +\beta }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha +\beta }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha +\beta }{2}}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ [বিয়োজন-যোজন করে]

বা, ${\cos }^2\frac{\alpha +\beta }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}[\because {\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1]$

$\therefore {\left\{g\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\right\}}^2-{\left\{f\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\right\}}^2=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $△\mathrm{ABC}$ এ $\angle \mathrm{ACB}={60}^{\circ }$

অতএব, $\cos C=\cos {60}^{\circ }$

বা, $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{1}{2}$

$[\because \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}]$

বা, $\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}=1$

বা, $a^2+b^2-c^2=ab$

বা, $a^2+b^2-c^2-ab=0$

বা, $(a+b+c{)}^2-3ab-2bc-2ca-2c^2=0$

বা, $(a+b+c{)}^2+ac+bc+c^2=3ab+3bc+3ac+3c^2$

বা, $(a+b+c{)}^2+c(a+b+c)=3b(a+c)+3c(a+c)$

বা, $(a+b+c)(a+b+c+c)=(a+c)(3b+3c)$

বা, $(a+b+c)\left\{\right(a+c)+(b+c\left)\right\}=3(a+c)(b+c)$

বা, $\frac{(a+c)+(b+c)}{(a+c)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}$

$\therefore \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ (প্রমাণিত)