সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকক্স-১: f(x)=sec⁡xদৃশ্যকল্প-২: 9×2+16y2=144.…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\sec x$

এবং $x^{\prime \prime }=\frac{1}{f\left(\sqrt{y}\right)}$

বা, $x=\frac{1}{\sec \sqrt{y}}$

বা, $\sec \sqrt{y}=\frac{1}{x}$

বা, $\sqrt{y}={\sec }^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)={\cos }^{-1}x$

বা, $y={({\cos }^{-1}x)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $y_1=2{\cos }^{-1}x\times \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}[x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পায়]

বা, $y_1^2=4{({\cos }^{-1}x)}^2\times \frac{1}{1-x^2}$ [বর্গ করে]

বা, $(1-x^2)y_1{}^2=4{({\cos }^{-1}x)}^2=4y$

বা, $(1-x^2)2y_1{y}_2+(0-2x)y_1{}^2=4y_1$

[পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই]

বা, $(1-x^2)2y_1{y}_2-2x{y}_1^2=4y_1$

বা, $(1-x^2)y_2-x{y}_1=2$ [উভ়য়পক্ষকে $2y_1$ ঘারা ভাগ করে]

$\therefore (1-x^2)y_2-{\mathrm{xy}}_1-2=0$.

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $9x^2+16y^2=144$

বা, $16y^2=144-9x^2$

বা, $y^2=\frac{1}{16}(144-9x^2)$

$\therefore y=\frac{1}{4}\sqrt{144-9x^2}$

(1) নং সমীকরণে y = 0 বসিয়ে পাই,

$0=\frac{1}{4}\sqrt{144-9x^2}$

বা, $0=\sqrt{144-9x^2}$

বা, $9x^2=144$

বা, $x^2=\frac{144}{9}=16$

$\therefore x=\pm 4$

বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রে সীমা $x=-4$ থেকে $x=2$

$\therefore$ আবদ্ধ বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল

$=2{\int }_{-4}^{2}ydx=2{\int }_{-4}^2\frac{1}{4}\sqrt{144-9x^2}$

$=2\times \frac{1}{4}{\int }_{-4}^2\sqrt{9(16-x^2)}dx=\frac{1}{2}{\int }_{-4}^{2}3\sqrt{4^2-x^2}dx=\frac{3}{2}{\int }_{-4}^2\sqrt{4^2-x^2}dx$

$=\frac{3}{2}{[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}{\sin }^{-1\frac{x}{4}}]}_{-4}^2[\int \sqrt{a^2-x^{2}dx}=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}{\sin }^{-1\frac{x}{2}}]$

$=\frac{3}{2}[(\frac{2\sqrt{4^2-2^2}}{2}+8{\sin }^{-1}\frac{2}{4})-(\frac{-4\sqrt{4^2-(-4{)}^2}}{2}+8{\sin }^{-1}\frac{-4}{4})]$

$=\frac{3}{2}\{\sqrt{12}+8{\sin }^{-1}\frac{1}{2}+0-8{\sin }^{-1}(-1\left)\right\}$

$=\frac{3}{2}\{2\sqrt{3}+8\times \frac{\pi }{6}-8\times (-\frac{\pi }{2})\}=3\sqrt{3}+2\pi +6\pi$

$=8\pi +3\sqrt{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $(8\pi +3\sqrt{3})$ বর্গ একক।