সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : (1+2x)2nদৃশ্যকল্প-২…’ জালালাবাদ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশি $=(1+2y{)}^{2n};n\in N$. এখানে, 2n একটি জোড় সংখ্যা।
$\therefore (1+2x{)}^{2n}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ থাকবে একটি। মধ্যপদটি হরে $(\frac{2n}{2}+1)$ তম বা $(n+1)$ তম পদ।

$\therefore (n+1)$ তম পদ $={}^{2n}{C}_n\cdot (2x{)}^n$

$=\frac{\left(2n\right)!}{n!(2n-n)!}{2}^n{y}^n=\frac{\left(2n\right)!}{n!n!}{2}^n{x}^n$

$=\frac{1.2\cdot 3.4\cdot 5\cdot 6\dots \dots (2n-1)2n}{n!n!}{2}^n{x}^n$

$=\frac{\{1.3\cdot 5\dots \dots (2n-1\left)\right\}(2.4\cdot 6\dots \dots ..2n)}{n!n!}{2}^n{x}^n$

$=\frac{\{1.3.5\dots ..(2n-1\left)\right\}\left\{\right(2.1)\cdot (2.2)\cdot (2.3)\dots ..(2n\left)\right\}}{n!n!}{2}^n{x}^n$

$=\frac{\{1.3.5\dots \dots (2n-1\left)\right\}{2}^n(1.2.3\dots \dots ..n)}{n!n!}{2}^n{x}^n$

$=\frac{\{1.3.5\dots \dots (2n-1\left)\right\}.n!}{n!n!}{2}^{2n}{x}^n$

যেখানে$=\frac{1.3.5\dots \dots .(2n-1)}{n!}{2}^{2n}{x}^n,\text{ যেখানে, }n\in N$.

$\therefore$ রাশিটির বিষ্ণৃতিতে মধ্যপদের মান $\frac{1.3.5\dots \dots (2n-1)}{n!}{2}^{2n}{x}^n$. যেখানে, $n\in N$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, একটি ধারার সমন্টি $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!n}{(n-1)!3^n}$ ধারাটির $n$ তম পদ, $U_n=\frac{n!n}{(n-1)!3^n}$

এবং $n+1$ তম পদ,  $U_{n+1}=\frac{(n+1)!(n+1)}{(n+1-1)!3^{n+1}}$

$=\frac{(n+1)!(n+1)}{n!3^{n+1}}$

এখন, 
$\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\frac{(n+1)!(n+1)}{n!3^{n+1}}}{\frac{n!n}{(n-1)!3^n}}$

$=\frac{(n+1)n!(n+1)}{n!3^n\cdot 3}\times \frac{(n-1)!3^n}{n(n-1)!n}$

$=\frac{(n+1{)}^2}{3n^2}$

$\therefore \underset{n\to \infty }{lim}\frac{U_{n+1}}{U_n}=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{(n+1{)}^2}{3n^2}$

$=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^2{(1+\frac{1}{n})}^2}{3n^2}$

$=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^2}{3}=\frac{1}{3}<1$

যেহেতু $\underset{n\to \infty }{lim}\frac{U_{n+1}}{U_n}<1$
সুতরাং ধারাটি অভিসারি।