সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : 2cos⁡A=cos⁡B+cos3⁡B2sin⁡A=sin⁡B−sin3⁡Bদৃশ্যকল্প-২:…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৬ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\sqrt{2}\cos A=\cos B+{\cos }^{3}B$

এবং $\sqrt{2}\sin A=\sin B-{\sin }^{3}B$ ....... (1)

(1) নং ও (2) নং সমীকরণ বর্গ করে যোগ করে পাই,

$2{\cos }^{2}A+2{\sin }^{2}A={(\cos B+{\cos }^{3}B)}^2+{(\sin B-{\sin }^{3}B)}^2$

বা, $2({\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A)={\cos }^{2}B+2{\cos }^{4}B+{\cos }^{6}B+{\sin }^{2}B-2{\sin }^{4}B+{\sin }^{6}B$

বা, $2=1+2({\cos }^{4}B-{\sin }^{4}B)+{\cos }^{6}B+{\sin }^{6}B$

বা, $2-1=2({\cos }^{2}B+{\sin }^{2}B)({\cos }^{2}B-{\sin }^{2}B)+({\cos }^{6}B+{\sin }^{6}B)$

বা, $1=2.1\cdot \cos 2B+\{{({\cos }^{2}B+{\sin }^{2}B)}^3-3{\cos }^{2}B{\sin }^{2}B\times ({\cos }^{2}B+{\sin }^{2}B)\}$

বা, $1=2\cos 2B+\{1-3{\cos }^{2}B{\sin }^{2}B\}$

বা, $1=2\cos 2B+1-3\cdot \frac{1}{4}(2\cos B\sin B{)}^2$

বা, $1=2\cos 2B+1-3\cdot \frac{1}{4}(2\cos B\sin B{)}^2$

বা, $1=2\cos 2B+1-3\frac{1}{4}{\sin }^{2}2B$

বা, $2\cos 2B-\frac{3}{4}(1-{\cos }^{2}2B)=0$

বা, $8\cos 2B-3+3{\cos }^{2}2B=0$

বা, $3{\cos }^{2}2B+8\cos 2B-3=0$

বা, $(3\cos 2B-1)(\cos 2B+3)=0$

হয়, $3\cos 2B-1=0$

বা, $3\cos 2B=1$

বা, $\cos -2B=\frac{1}{3}$

অথবা, $\cos 2B+3=0$

বা, $\cos 2B=-3$

যা গ্রহণযোগ্য নয়।

আবার, (1) নং হতে পাই,

$\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos B+{\cos }^{3}B)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos B(1+{\cos }^{2}B)$

(2) নং হতে পাই,

$\sin A=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin B-{\sin }^{3}B)$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin B(1-{\sin }^{2}B)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin B{\cos }^{2}B$

এখন, $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin B{\cos }^{3}B-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos B(1+{\cos }^{2}B)\sin B$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin B\cos B\{{\cos }^{2}B-(1+{\cos }^{2}B)\}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin B\cos B\{{\cos }^{2}B-1-{\cos }^{2}B\}$

$=\frac{-1}{2\sqrt{2}}\times 2\sin B\cos B=\frac{-1}{2\sqrt{2}}\sin 2B$

বা, ${\sin }^2(A-B)={\left(\frac{-1}{2\sqrt{2}}\right)}^2{\sin }^{2}2B$ [উভয়পাশে বর্গ করে]

বা, ${\sin }^2(A-B)=\frac{1}{8}\times (1-{\cos }^{2}2B)$

বা, ${\sin }^2(A-B)=\frac{1}{8}(1-\frac{1}{9})$

বা, ${\sin }^2(A-B)=\frac{1}{8}\times \frac{8}{9}=\frac{1}{9}$

$\therefore \sin (A-B)=\pm \frac{1}{3}$. (দেখানো হলো)

বামপক্ষ $=\cos A+\cos B+\cos C$

$=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+\cos C$

$=2\cos \left(\frac{\pi -C}{2}\right)\cos \frac{A-B}{2}+\cos C$

$[\because A+B+C=\pi ]$

$=2\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2})\cos \frac{A-B}{2}+1-2{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}-2{\sin }^2\frac{C}{2}$

$=1+2\sin \frac{C}{2}(\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{C}{2})$

$=1+2\sin \frac{C}{2}\{\cos \frac{A-B}{2}-\sin \frac{\pi -(A+B)}{2}\}$

$=1+2\sin \frac{C}{2}\{\cos \frac{A-B}{2}-\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{A+B}{2})\}$

$=1+2\sin \frac{C}{2}\{\cos \frac{A-B}{2}-\cos \frac{A+B}{2}\}$

$=1+2\sin \frac{C}{2}\cdot 2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}$

$=1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}.$ (প্রমাণিত)