সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : 2p=−1+−3,2q=−1−−3.দৃশ্যকল্প-২…’ নটরডেম কলেজ ২০২৬ – যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $2p=-1+\sqrt{-3}$

বা, $2p=2\omega$

বা, $p=\omega$

এবং $2q=-1-\sqrt{-3}$

বা, $2q=2{\omega }^2$

বা, $q={\omega }^2$

$\therefore p^n+q^n={\omega }^n+{\left({\omega }^2\right)}^n={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

$n,3$ দ্বারা বিভাজ্য হলে, $n=3m,m\in Z$

$\therefore {\omega }^{3m}+{\omega }^{2.3m}={\left({\omega }^3\right)}^m+{\left({\hat{\omega }}^6\right)}^m$

$=1^m+1^m$

$=1+1=2$

$n=3m+1$ হলে,

${\omega }^{3m+1}+{\omega }^{2(3m+1)}={\omega }^{3m}\cdot {\omega }^1+{\omega }^{6m}\cdot {\omega }^2$

$=1\cdot \omega +1\cdot {\omega }^2$

$=\omega +{\omega }^2=-1$

$n=3m+2$ হলে,

${\omega }^{3m+2}+{\omega }^{2(3m+2)}={\omega }^{3m}\cdot {\omega }^2+{\omega }^{6m}\cdot {\omega }^4$

$=1\cdot {\omega }^2+1\cdot \omega$

$={\omega }^2+\omega =-1$

$\therefore p^n+q^p=2$ যখন $n$ এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য।

অথবা, $p^n+q^n=-1$ যখন n এর মান অপর যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হয়। (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $x\ge y;x\le 4;y\le 3;x-2y\le 2,x\ge 0,y\ge 0$ এবং $Z=3x-5y$.

প্রদত্ত অসমতাগুলোকে সমতা করে পাই,

$x=y\dots \dots \dots .\text{ (i) }$

$x=4\dots \dots \dots .\text{ (ii) }$

$x=3\dots \dots \dots .\text{ (iii) }$

$x-2y=2$ বা, $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}=1..........\left(\mathrm{iv}\right)$

$x=0,y=0$

এখন, $x$ ও $y$ অক্ষে ক্ষুদ্রতম বর্গের 5 বাহুর দৈর্ঘ্য = 1 একক ধরে, (i). (ii), (iii) ও (iv) নং সমীকরণকে ছক কাগজে স্থাপন করে সমাধানের এলাকা চিহ্নিত করি।

লেখচিত্র হতে, সমাধানের এলাকা OABCD; O(0, 0)

$A$ হলো $x$ অক্ষ ও (iv) এর ছেদবিন্দু, অর্থাৎ, A(2, 0).

$B$ হলো (ii) ও (iv) এর ছেদবিন্দু, অর্থাৎ, B(4, 1)

C হলো (ii) ও (iii) এর ছেদবিন্দু, অর্থাৎ, C(4, 3)

D হলো (i) ও. (iii) এর ছেদবিন্দু, অর্থাৎ, D(3, 3)

O(0, 0) বিন্দুতে, $Z=3-4=0$

A(2, 0) বিন্দুতে, $Z=3.2-5=6$

B4(, 1) বিন্দুতে, $Z=3.4-5.1=7$

C(4, 3) বিন্দুতে, $Z=3.4-5.3=-3$

D(3, 3) বিন্দুতে, $Z=3.3-5.3=-6$

$\therefore$ B(4, 1) বিন্দুতে Z এর সর্বোচ্চ মান 7.

নির্ণেয় সর্বোচ্চ মান 7.