সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:2P+2Q এবং 2P−2Q…’ ঢাকা কলেজ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, $2P+2Q$ ও $2P-2Q$ মানের বল দুইটি যথাক্রমে $OA$ ও OB রেখা বরাবর $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত এবং এদের লব্ধি R, OC রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল।

আবার, $\angle \mathrm{AOB}$ এর সমদ্বিখন্ডক রেখা OD এর সাথে OC রেখা $\frac{\theta }{2}$ কোণ উৎপন্ন করে।

$\angle \mathrm{COD}=\frac{\theta }{2},\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{BOD}=\frac{\alpha }{2}$

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2}$

$\angle \mathrm{BOC}=\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2}=\angle \mathrm{OCA}$

এখন, AOC ত্রিভুজ হতে বলের সাইন সূত্রের সাহায্যে পাই,

$\frac{2P+2Q}{\sin OCA}=\frac{2P-2Q}{\sin AOC}=\frac{R}{\sin OAC}$

$\therefore \frac{2P+2Q}{2P-2Q}=\frac{\sin OCA}{\sin AOC}$

বা, $\frac{P+Q}{P-Q}=\frac{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})}{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

বা, $\frac{P+Q+P-Q}{P+Q-P+Q}=\frac{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})+\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\theta }{2})-\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\theta }{2})}$

বা, $\frac{2P}{2Q}=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{2\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\theta }{2}}$

বা, $\frac{P}{Q}=\tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\theta }{2}=\frac{\tan \frac{\alpha }{2}}{\tan \frac{\theta }{2}}$

$\therefore P:Q=\tan \frac{\alpha }{2}:\tan \frac{\theta }{2}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\mathrm{AB}=20m,\mathrm{CD}=10m$

চিত্র থেকে, $\mathrm{AO}=\mathrm{BO}=\frac{20}{2}=10m$
তক্তাটি না উল্টিয়ে A প্রান্তে সর্বাধিক $W_1$ ওজন বুঝানো যায়। তখন D বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং A ও O তে কার্যকর ওজনের লব্ধি $(W+W_1),C$ তে ক্রিয়া করে।

$W_1\times \mathrm{AC}=W\times \mathrm{OC}$

বা, $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{OC}}=\frac{W}{W_1}$

বা, $\frac{\mathrm{AC}+\mathrm{OC}}{\mathrm{OC}}=\frac{W+W_1}{W_1}$

বা, $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OC}}=\frac{W+W_1}{W_1}$

বা, $OC=\frac{W_1}{W+W_1}AO$

$\therefore OC=\frac{W_1}{W+W_1}:10$. . . . . . . . .(1)

আবার, B প্রান্তে সর্বাধিক $W_2$ ওজন স্থাপন করলে C বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং O ও B তে কার্যকর ওজনের লব্ধি $(W+W_2),D$ তে ক্রিয়া করে।
$\therefore W\times \mathrm{OD}=W_2\times \mathrm{BD}$

বা, $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{OD}}=\frac{W}{W_2}$

বা, $\frac{\mathrm{BD}+\mathrm{OD}}{\mathrm{OD}}=\frac{W+W_2}{W_2}$

বা, $\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}=\frac{W+W_2}{W_2}$

বা, $OD=\frac{W_2}{W+W_2}OB$

$\therefore \mathrm{OD}=\frac{W_2}{W+W_2}\cdot 10$ . . . . . . . . .(2)

(1) + (2) $\Rightarrow OC+OD=\frac{W_1}{W+W_1}\cdot 10+\frac{W_2}{W+W_2}10$

বা, $\mathrm{CD}=10(\frac{W_1}{W+W_1}+\frac{W_2}{W+W_2})$

বা, $\frac{10}{10}=\frac{W_1}{W+W_1}+\frac{W_2}{W+W_2}$

$\therefore \frac{W_1}{W+W_1}+\frac{W_2}{W+W_2}=1$. (দেখানো হলো)