সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 2×2−3x+1=0 সমীকরণের…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে, $2x^2-3x+1=0$ এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$ এবং $\alpha \beta =\frac{1}{2}$

এখন, $(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$

$={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-4\times \frac{1}{2}=\frac{9}{4}-2=\frac{9-8}{4}=\frac{1}{4}$

$\therefore |\alpha -\beta |=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

এখন, $|\alpha -\beta |$ ও $\alpha \beta$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,

$x^2-(|\alpha -\beta |+\alpha \beta )x+(\alpha -\beta )\alpha \beta =0$

বা, $x^2-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=0$

বা, $x^2-1.x+\frac{1}{4}=0$

$\therefore 4x^2-4x+1=0$

নির্ণেয় সমীকরণ $4x^2-4x+1=0$.

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$x^2+x-k=0...........\left(i\right)$

$x^2-7x+(k+4)=0..........\left(ii\right)$

ধরি, সমীকরণ দুটির সাধারণ মূল $\alpha$ হলে,

(i) নং সমীকরণ হতে পাই, ${\alpha }^2+\alpha -k=0.........\left(iii\right)$

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই, ${\alpha }^2-7\alpha +(k+4)=0...........\left(iv\right)$

সমীকরণ (iii) ও (iv) বজ্রগুণন করে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{k+4-7k}=\frac{\alpha }{-k-k-4}=\frac{1}{-7-1}$

$\Rightarrow \frac{{\alpha }^2}{4-6k}=\frac{\alpha }{-2k-4}=\frac{1}{-8}$

$\Rightarrow \frac{{\alpha }^2}{2-3k}=\frac{\alpha }{-k-2}=\frac{1}{-4}$

$\therefore \alpha =\frac{k+2}{4}$

আবার,

$\frac{{\alpha }^2}{2-3k}=\frac{1}{-4}$

$\Rightarrow 4{\alpha }^2=-2+3k$

$\Rightarrow 4\times {\left(\frac{k+2}{4}\right)}^2=-2+3k$

$\Rightarrow k^2+4k+4=-8+12k$

$\Rightarrow k^2-8k+12=0$

$\Rightarrow k^2-6k-2k+12=0$

$\Rightarrow k(k-6)-2(k-6)=0$

$\Rightarrow (k-6)(k-2)=0$

$\therefore k=2,6$