সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 2×2+y2−8x−2y+1=0 একটি…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$2x^2+y^2-8x-2y+1=0$

$\Rightarrow 2(x^2-4x)+y^2-2y+1=0$

$\Rightarrow 2(x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2)+(y^2-2\cdot y\cdot 1+1^2)=8$

$\Rightarrow 2(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=8$

$\Rightarrow \frac{(x-2{)}^2}{4}+\frac{(y-1{)}^2}{8}=1$

$\Rightarrow \frac{(x-2{)}^2}{2^2}+\frac{(y-1{)}^2}{(2\sqrt{2}{)}^2}=1$

$\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$

$=\sqrt{1-\frac{4}{8}}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}$

যেখানে,

$X=x-2$

$Y=y-1$

$a=2$

$b=2\sqrt{2}(b>a)$

$\therefore e<1,$ তাই কনিকটি উপবৃত্ত

উপবৃত্তের উপকেন্দ্র $(0,\pm$ be)

$X=0;Y=\pm \mathrm{be}$

$\Rightarrow x-2=0\Rightarrow y-1=\pm 2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm 2$

$\therefore x=2\Rightarrow y=3,-1$

$\therefore$ নির্ণেয় উপকেন্দ্র $(2,3),(2,-1)$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2a^2}{b}$

$=\frac{2\times 4}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 4}{2\sqrt{2}}$

$=2\sqrt{2}$

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র-S $(1,2)$

অধিবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ, $\mathrm{MZ}:x+2y=1$

$\Rightarrow x+2y-1=0$

এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{3}$

ধরি, অধিবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$ অধিবৃত্তের সংজ্ঞা হতে পাই,

$SP=e\cdot pM$

$\Rightarrow \sqrt{(x-1{)}^2+(y-2{)}^2}=\sqrt{3}\cdot \left|\frac{x+2y-1}{\sqrt{1^2+2^2}}\right|$

$\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-4y+4=\frac{3}{5}(x^2+4y^2+1+4xy-4y$

$\Rightarrow 5(x^2-2x+y^2-4y+5)=3(x^2+4y^2+4xy-4y-2x^{2}y+1)$

$\Rightarrow 2x^2-7y^2-4x-8y-12xy+22=0$

ইহাই নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ।