সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 32×3−48×2+22x−3=0 একটি…’ ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে，$f\left(x\right)=32x^3-48x^2+22x-3$

$\therefore f\left(x\right)=0$ হলে, $32x^3-48x^2+22x-3=0\dots .\text{ (i) }$

(i) নং সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর শ্রেণিভুক্ত হলে ধরি, মূলত্রয়

$\alpha -\beta ,\alpha ,\alpha +\beta$ মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই,

$\alpha -\beta +\alpha +\alpha +\beta =-\frac{-48}{32}=\frac{48}{32}$

বা， $3\alpha =\frac{3}{2}\therefore \alpha =\frac{1}{2}$

আবার，$(\alpha -\beta )\cdot \alpha \cdot (\alpha +\beta )=-\frac{-3}{32}=\frac{3}{32}$

বা，$\alpha ({\alpha }^2-{\beta }^2)=\frac{3}{32}$

বা，$\frac{1}{2}\{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\beta }^2\}=\frac{3}{32}$

বা, $\frac{1}{2}\{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\beta }^2\}=\frac{3}{32}$

বা, $\frac{1}{4}-{\beta }^2=\frac{6}{32}$

বা, $\frac{1}{4}-\frac{6}{32}={\beta }^2$

বা, $\frac{8-6}{32}={\beta }^2$

বা, ${\beta }^2=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}$

$\therefore \beta =\pm \frac{1}{4}$

$\alpha =\frac{1}{2},\beta =\frac{1}{4}$ হলে, $\alpha -\beta ,\alpha ,\alpha +\beta$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2-1}{4},\frac{1}{2},\frac{2+1}{4}=\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4}$

আবার, $\alpha =\frac{1}{2}$ এবং $\beta =-\frac{1}{4}$ হলে,

$\alpha -\beta ,\alpha ,\alpha +\beta =\frac{1}{2}+\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$

নির্ণেয় সমাধান $=(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4})\text{. }$

${(1+x+x^2)}^n=a_0+a_{4}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5+a_6{x}^6+\dots \dots ..+a_{2n}{x}^{2n}$ .........(1)

এখন, (1)নং এ $x=1$ বসিয়ে পাই,

${(1+1+1^2)}^n=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_6+\dots ..+a_{2n}$

বা, $3^n=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+$. ......... (2)

(1) নং এ $x=\omega$ বসিয়ে পাই,

${{{(1+\omega +{\omega }^2)}^n=a_0+a_1\left(\omega \right)+a_2\omega )}^2+a_3\omega )}^3+a_4({\omega }^4+a_5({\omega }^5+a_6({\omega }^6+\dots \dots .+a_{2n}({\omega }^{2n}$

বা, $0=a_0+a_1\omega +a_2{\omega }^2+a_3+a_4\omega +a_5{\omega }^2+a_6+$ ...... (3)

$[\because 1+\omega +{\omega }^2=0;{\omega }^3=1]$

আবার, (1)নং এ $x={\omega }^2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}{(1+{\omega }^2+{\omega }^4)}^n=a_0+a_1{\omega }^2+a_2{\omega }^4& +a_3{\omega }^6+a_4{\omega }^8+a_5{\omega }^{10}+a_6{\omega }^{12}+\dots \dots \dots .+a_{2n}{\omega }^{4n}\end{array}$

বা, $0=a_0+a_1{\omega }^2+a_2\omega +a_3+a_4{\omega }^2+a_5\omega +a_6+$  ......... (4)

এখন, (2), (3) ও (4)নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$3^n=3a_0+a_1(1+\omega +{\omega }^2)+a_2(1+{\omega }^2+\omega )+3a_3+a_4(1+\omega +{\omega }^2)+a_5(1+{\omega }^2+\omega )+3a_6+.......$

বা, $3^n=3a_0+a_1\cdot 0+a_2\cdot 0+3a_3+a_4\cdot 0+a_5\cdot 0+3a_6+\dots ..[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

বা, $3^n=3(a_0+a_3+a_6+\dots \dots .)$

বা, $\frac{3^n}{3}=a_0+a_3+a_6+$

বা, $3^{n-1}=a_0+a_3+a_6+$

$\therefore a_0+a_3+a_6+\dots \dots ..=3^{n-1}$. (প্রমাণিত)