সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : 3×2−4x+1=0…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$3x^2-4x+1=0$ সমীকরণের মুলদ্বয় $a$ ও $b$

$\therefore$ মূল দুইটির যোগফল, $a+b=-\frac{(-4)}{3}=\frac{4}{3}$

এবং মূল দুইটির গুণফল, $ab=\frac{1}{3}$

এখন, $a+\frac{1}{b}$ এবং $b+\frac{1}{a}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে।

মূলদ্বয়ের যোগফল $=(a+\frac{1}{b})+(b+\frac{1}{a})$

$=(a+b)+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

$=(a+b)+\frac{a+b}{ab}$

$=\frac{4}{3}+\frac{4}{\frac{1}{3}}$

$=\frac{4}{3}+4=\frac{4+12}{3}=\frac{16}{3}$

এবং মূলদ্বয়ের গুণফল $=(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{a})$

$=ab+1+1+\frac{1}{ab}$

$=ab+\frac{1}{ab}+2$

$=\frac{1}{3}+\frac{1}{\frac{1}{3}}+2$

$=\frac{1}{3}+3+2$

$=\frac{1}{3}+5$

$=\frac{1+15}{3}=\frac{16}{3}$

নির্ণেয় সমীকরণ,

x² – (মূলদ্বয়ের যোগফল) x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0

বা, $x^2-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=0$

$\therefore 3x^2-16x+16=0$

দেওয়া আছে,

$x^2-\mathrm{qx}+r=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ৫ $\beta$

$\therefore \alpha +\beta =-\frac{-q}{1}=q$ এবং $\alpha \beta =\frac{r}{1}=r$

এখন, $r(x^2+1)-(q^2-2r)x=0$

বা, $\alpha \beta (x^2+1)-\left\{\right(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta \}x=0$

বা, $\alpha \beta (x^2+1)-({\alpha }^2+{\beta }^2)x=0$

বা, $\alpha \beta x^2+\alpha \beta -{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x=0$

বা, $\alpha \beta x^2-{\alpha }^{2}x-{\beta }^{2}x+\alpha \beta =0$

বা, $\alpha x(\beta x-\alpha )-\beta (\beta x-\alpha )=0$

বা, $(\alpha x-\beta )(\beta x-\alpha )=0$

হয়, $\alpha x-\beta =0$

বা, $\alpha x=\beta$

$\therefore x=\frac{\beta }{\alpha }$

অথবা, $\beta x-\alpha =0$

বা, $\beta x=\alpha$

$\therefore x=\frac{\alpha }{\beta }$

অর্থাৎ, সমীকরণটির মূলদ্বয় ও $\alpha$ এবং $\beta$ এর মাধ্যমে প্রকাশ হলো।

নির্ণেয় মূলদ্বয় : $\frac{\alpha }{\beta }$ও $\frac{\beta }{\alpha }$.