সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 3×2+9x−6y−8=0 একটি…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে,

$3x^2+9x-6y-8=0$

$\Rightarrow 3(x^2+3x)=6y+8$

$\Rightarrow 3\{x^2+2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\}=6y+8+\frac{27}{4}$

$\Rightarrow 3{(x+\frac{3}{2})}^2=6y+\frac{59}{4}$

$\Rightarrow 3{(x+\frac{3}{2})}^2=6(y+\frac{59}{24})$

$\Rightarrow {(x+\frac{3}{2})}^2=2(y+\frac{59}{24})$

$\Rightarrow {(x+\frac{3}{2})}^2=4\cdot \frac{1}{2}(y+\frac{59}{24})$

$\therefore x^2=4ax$

যেখানে,

$x=x+\frac{3}{2}$

উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দু $(\pm 2a,a)Y=y+\frac{59}{24}$

$\therefore x=\pm 2a$

$\Rightarrow x+\frac{3}{2}=\pm 2\times \frac{1}{2}$

$\Rightarrow x=-\frac{1}{2},-\frac{5}{2}$

$a=\frac{1}{2}$

এবং $Y=a$

$\Rightarrow y+\frac{59}{24}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow y=\frac{1}{2}-\frac{59}{24}$

$=\frac{12-59}{24}$

$=\frac{-47}{24}$

$\therefore$ নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\frac{1}{2},-\frac{47}{24}),(-\frac{5}{2},-\frac{47}{24})$

$\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণ:

$Y=-a$

$\Rightarrow y+\frac{59}{24}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow y+\frac{59}{24}+\frac{1}{2}=0$

$\Rightarrow y+\frac{59+12}{24}=0$

$\Rightarrow 24y+71=0$

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

কণিকের কেন্দ্র $0(0,0)$

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 10

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\because e<1$, তাই কণিকটি হবে উপবৃত্ত।

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ :

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b).......\left(i\right)$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য, $\frac{2b^2}{a}=10$

$\Rightarrow 2b^2=10a$

$\therefore b^2=5a......\left(ii\right)$.

আবার, উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow e^2=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow b^2=\frac{2}{3}{a}^2$

$\Rightarrow 5a=\frac{2}{3}{a}^2$

$\Rightarrow a=\frac{15}{2}$

a এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$b^2=5\times \frac{15}{2}=\frac{75}{2}$

$\therefore 6=5\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$a$ ও b এর মান (i) নং এ বসেয় পাই,

$\frac{x^2}{{\left(\frac{15}{2}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)}^2}=1$

ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ।