সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 3×3+2×2−x−1 সমীকরণের…’ যশোর বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$3x^3+2x^2-x-1=0$

সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha ,\beta ,\gamma$ হলে,

$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{2}{3}$

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-\frac{1}{3}$

$\alpha \beta \gamma =\frac{1}{3}$

$\therefore \frac{1}{\alpha },\frac{1}{\beta }\cdot \frac{1}{\gamma }$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণঃ

$x^3-(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma })x^2$$+(\frac{1}{\alpha }\cdot \frac{1}{\beta }+\frac{1}{\beta }\cdot \frac{1}{\gamma }+\frac{1}{\gamma }\cdot \frac{1}{\alpha })\cdot x-\frac{1}{\alpha }\frac{1}{\beta }\frac{1}{\gamma }=0$

$\Rightarrow x^3-\frac{\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha }{\alpha \beta \gamma }{x}^2+\frac{\alpha +\beta +\gamma }{\alpha \beta \gamma }x$$-\frac{1}{\alpha \beta \gamma }=0$

$\Rightarrow x^3-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}{x}^2+\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}x-\frac{1}{\frac{1}{3}}=0$

$\Rightarrow x^3+x^2-2x-3=0$

$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণ $\Rightarrow x^3+x^2-2x-3=0$

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$x^2+gx+h=0..........\left(1\right)$

$x^2+hx+g=0..........\left(2\right)$

ধরি, সমীকরনের একটি সাধারণ মূল $\alpha$ হলে,

${\alpha }^2+g\alpha +h=0.........\left(3\right)$

${\alpha }^2+h\alpha +g=0...........\left(4\right)$

সমীকরণ (3) - (4) থেকে পাই,

$(g-h)\alpha =(g-h)$

$\therefore \alpha =1$

$\alpha$ এর মান (3)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

$1+g+h=0$

$\Rightarrow g+h=-1$

ধরি, (1) নং সমীকরণের অপর মূল $\beta$

এবং (2)নং সমীকরণের অপর মূল $\gamma$

(1) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\alpha \beta =h$

$\therefore \beta =h$

(2) নং সমীকরণ হতে পাই,

$\alpha \gamma =g$

$\therefore \gamma =g$

$\therefore \beta$ ও $\gamma$ মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণঃ

$x^2-(\beta +\gamma )x+\beta \gamma =0$

$\Rightarrow x^2-(-1)x+hg=0$

$\Rightarrow x^2-(h+g)x+hg=0$

$\therefore$ নির্ণেয় সমাধানঃ $x^2+x+hg=0$