সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 4×2−8x+8y2−8y=10 একটি…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ এ উপবৃত্তের সমীকরণ,

$4x^2-8x+8y^2-8y=10$

বা, $4(x^2-2x)+8(y^2-y)=10$

বা, $4(x^2-2x+1)-4+8(y^2-2\cdot y\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4})-2=10$

বা, $4(x-1{)}^2+8{(y-\frac{1}{2})}^2=10+4+2$

বা, $4(x-1{)}^2+8{(y-\frac{1}{2})}^2=16$

বা, $\frac{(x-1{)}^2}{4}+\frac{{(y-\frac{1}{2})}^2}{2}=1$

$\frac{(x-1{)}^2}{2^2}+\frac{{(y-\frac{1}{2})}^2}{(\sqrt{2}{)}^2}=1............\left(i\right)$

(1) সমীকরণ $\frac{(x-\alpha {)}^2}{a^2}+\frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$\alpha =1,\beta =\frac{1}{2},a=2$ এবং $b=\sqrt{2}$

$a>b$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2b}{a}=\frac{2\times 2}{2}=2$ একক

উপকেন্দ্রর স্থানাঙ্ক $(\pm \mathrm{ae}+\alpha ,\beta )=(\pm 2\frac{1}{\sqrt{2}}+1,\frac{1}{2})$

$=(\pm \sqrt{2}+1,\frac{1}{2})$

এবং কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\alpha ,\beta )=(1,\frac{1}{2})$

নির্ণেয় উপবৃত্তটির কেন্দ্র $(1,\frac{1}{2})$, উপকেন্দ্র $(\pm \sqrt{2}+1,\frac{1}{2})$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য 2 একক।

এখন উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{3}<1$, তাই কণিকটি উপবৃত্ত।

যার কেন্দ্র C(-2, - 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(4,-1)

ধরি, A শীর্ষবিন্দুর অনুরূপ উপকেন্দ্র S এবং নিয়ামক রেখা MZ.

তাহলে, $\mathrm{CS}:\mathrm{SA}=\mathrm{ae}:(a-ae)$

$=e:(1-e)=\frac{1}{3}:(1-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=1:2$

অর্থাৎ, S বিন্দু CA কে $1:2$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

$\therefore S$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\equiv (\frac{1.4+2\cdot (-2)}{1+2},\frac{1(-1)+2(-2)}{1+2})$

$=(0,\frac{-5}{3})$

$\therefore$ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $S(0,\frac{-5}{3})$

আবার, $CZ:AZ=\frac{a}{e}:(\frac{a}{e}-a)$

$=\frac{1}{e}:(\frac{1}{e}-1)=\frac{1}{\frac{1}{3}}:(\frac{1}{\frac{1}{3}}-1)=3:(3-1)=3:2$

Z বন্দি CA কে 3:2 অনুপাতত বহির্বিকক্ত করে

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\equiv (\frac{3\cdot 4-2\cdot (-2)}{3-2},\frac{3\cdot (-1)-2(-2)}{3-2})\equiv (16,1)$

এখন, CAZ অক্ষরেখার ঢাল $\frac{-1-(-2)}{4-(-2)}=\frac{1}{6}$

নিয়মকরেখা অক্ষরেখার উপর লম্ব বলে,

নিয়ামক্রোর ঢাল $=\frac{-1}{\frac{1}{6}}=-6$

ML নিয়ামকরেন সমীকরণ, $y-1=-6(x-16)$

বা, $y-1=-6x+96$

$6x+y-97=0$

ধরি, উপবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

$\therefore$ উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $\mathrm{SP}=\mathrm{ePM}$

বা, $\sqrt{(x-0{)}^2+{(y+\frac{5}{3})}^2}=\frac{1}{3}\frac{|6x+y-9x|}{\sqrt{6^2+1^2}}$

বা, $x^2+{(y+\frac{5}{3})}^2=\frac{1}{9}\times \frac{(6x+y-97{)}^2}{37}$

বা, $333(x^2+y^2+\frac{10}{3}y+\frac{25}{9})=36x^2+y^2+9409+12xy-194y-1164x$

বা, $297x^2+332y^2-12xy+1164x+1304y-8484=0$

নির্ণেয় উপবৃটের সমীকরণ,

$297x^2+332y^2-12xy+1164x+1304y-8484=0$