সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 4×2−9y2−16x+54y−101=0. দৃশ্যকল্প-২…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১: এ কনিকটির সমীকরণ,

$4x^2-9y^2-16x+54y-101=0$

বা, $4(x^2-4x)-9(y^2-6y)-101=0$

বা, $4(x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2)-9(y^2-2\cdot y\cdot 3+3^2)-101-16+81=0$

বা, $4(x-2{)}^2-9(y-3{)}^2=36$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{9}-\frac{(y-3{)}^2}{4}=1$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{3^2}-\frac{(y-3{)}^2}{2^2}=1$ ........ (1)

এটি $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ আকারের সমীকরণ যা একটি অধিবৃত।

যেখানে, $X=x-2,Y=y-3$

$a=3$ এবং $b=2$

উৎকেন্দ্রিকতা,

$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{2^2}{3^2}}$

$=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{9+4}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2b^2}{a}=\frac{2\times 2^2}{3}=\frac{8}{3}$

নিয়ামকরেখার সমীকরণ,

$X=\pm \frac{a}{e}$

বা, $x-2=\pm \frac{3}{\frac{\sqrt{13}}{3}}=\pm \frac{9}{\sqrt{13}}$

বা, $x=2\pm \frac{9}{\sqrt{13}}$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{8}{3}$ এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ $x=2\pm \frac{9}{\sqrt{13}}$

উদ্দীপকের তথ্যানুসারে,

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু, $A(1,3)$

নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $y=4$

যেহেতু নিয়ামকরেখা $x$-অক্ষের সমান্তরাল, তাই পরাবৃত্তের অক্ষরেখা হবে $y$-অক্ষের সমান্তরাল।

শীর্ষবিন্দু $A(1,3)$ গামী হওয়ায় অক্ষরেখার সমীকরণ হবে, $x=1$।

অতএব, অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু, $Z(1,4)$।

শীর্ষবিন্দু থেকে নিয়ামকরেখার দূরত্ব, $a=AZ=\sqrt{(1-1{)}^2+(4-3{)}^2}=1$

যেহেতু নিয়ামকরেখার কোটি ($y=4$) শীর্ষবিন্দুর কোটি ($y=3$) অপেক্ষা বড়, তাই পরাবৃত্তটি $y$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে (নিচের দিকে) উন্মুক্ত।

সুতরাং, পরাবৃত্তটির সমীকরণ:

$(x-\alpha {)}^2=-4a(y-\beta )$

$\Rightarrow (x-1{)}^2=-4\cdot 1\cdot (y-3)$

$\Rightarrow x^2-2x+1=-4y+12$

$\Rightarrow x^2-2x+4y+1-12=0$

$\therefore x^2-2x+4y-11=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $x^2-2x+4y-11=0$