সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 4×2+ay2=1 একটি…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে কনিকের সমীকরণ, $4x^2+a{y}^2=1\dots \dots \left(i\right)$

দেওয়া আছে,

$\left(i\right)$ নং কনিকটি $(0,\pm 1)$ বিন্দুগামী।

$\therefore 4(0{)}^2+a(\pm 1{)}^2=1$

$\Rightarrow 0+a\left(1\right)=1$

$\therefore a=1$

$a=1$ মানটি $\left(i\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$4x^2+y^2=1$

$\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{1}=1$

$\Rightarrow \frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}+\frac{y^2}{(1{)}^2}=1\dots \dots \left(ii\right)$

এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ। সমীকরণ $\left(ii\right)$ কে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$A=\frac{1}{2}$ এবং $B=1$

যেহেতু $B>A$, তাই উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $Y$-অক্ষ বরাবর এবং ক্ষুদ্র অক্ষ $X$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য $=2B=2\times 1=2$ একক।

ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য $=2A=2\times \frac{1}{2}=1$ একক।

নির্ণেয় অক্ষদ্বয়ের দৈর্ঘ্য: বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য $2$ একক এবং ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য $1$ একক।

দেওয়া আছে,

কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{3}>1$।

যেহেতু উৎকেন্দ্রিকতা $1$ অপেক্ষা বৃহত্তর, তাই কনিকটি একটি অধিবৃত্ত।

ক্ষেত্র-১ (আড় অক্ষ $X$-অক্ষ বরাবর হলে):

ধরি,

অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

এই ক্ষেত্রে নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $=\frac{2a}{e}$

প্রশ্নমতে,

$\frac{2a}{e}=4$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=2$

$\Rightarrow a=2e=2\sqrt{3}$

$\therefore a^2=12$

আমরা জানি,

অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে $b^2=a^2(e^2-1)$

$\Rightarrow b^2=12\left\{\right(\sqrt{3}{)}^2-1\}$

$\Rightarrow b^2=12(3-1)=12\times 2=24$

$a^2$ ও $b^2$ এর মান সমীকরণে বসালে নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ হয়:

$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$

ক্ষেত্র-২ (আড় অক্ষ $Y$-অক্ষ বরাবর হলে):

ধরি,

অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$

এই ক্ষেত্রে নিয়ামক রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $=\frac{2b}{e}$

প্রশ্নমতে,

$\frac{2b}{e}=4$

$\Rightarrow b=2e=2\sqrt{3}$

$\therefore b^2=12$

আমরা জানি,

এই ক্ষেত্রে $a^2=b^2(e^2-1)$

$\Rightarrow a^2=12(3-1)=24$

মানগুলো সমীকরণে বসালে নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ হয়:

$\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$

নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{24}=1$ অথবা $\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{24}=1$