সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 4x−4y+6=0,x+7y−3=0 দুইটি…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$4x-4y+6=0..........\left(i\right)$

এবং $x+7y-3=0..........\left(ii\right)$

এখানে, $a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2=4\cdot 1+(-4)\cdot 7$

$\begin{array}{cc}& =4-28\\ & =-24<0\end{array}$

(i) নং ও (ii) নং এর মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,

$\frac{4x-4y+6}{\sqrt{4^2+(-4{)}^2}}=\frac{x+7y-3}{\sqrt{1^2+7^2}}$

বা, $\frac{4x-4y+6}{4\sqrt{2}}=\frac{x+7y-3}{5\sqrt{2}}$

বা,$20x-20y+30=4x+28y-12$

বা,$20x-4x-20y-28y+30+12=0$

বা,$16x-48y+42=0$

বা,$2(8x-24y+21)=0$

$\therefore 8x-24y+21=0$ ইহাই निর্ণেয় সমীকরণ।

এখান, $A(2,5),B(3,1),C(8,4),H(x,y)$

AD রেখার উপরস্থ বিন্দু $H(x,y)$

$\therefore \mathrm{AD}$ রেখার ঢাল $=\frac{y-5}{x-2}$

BC রেখার ঢাল $=\frac{4-1}{8-3}=\frac{3}{5}$

$\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$ হওয়ায়, $\frac{y-5}{x-2}\times \frac{3}{5}=-1$

বা, $3y-15=-5x+10$

বা, $5x+3y=25.........\left(iii\right)$

BE রেখার উপরস্থ বিন্দু $H(x,y)$

$\therefore \mathrm{BE}$ রেখার ঢাল $=\frac{y-1}{x-3}$

$\mathrm{AC}$ রেখার ঢাল $=\frac{4-5}{8-2}=\frac{-1}{6}$

আবার, $\mathrm{BE}\perp \mathrm{AC}$ হওয়ায়,

$\frac{y-1}{x-3}\times \frac{-1}{6}=-1$

বা, $6x-18=y-1$

বা, $6x-y=17.........\left(iv\right)$

(iii) নং (iv) নং এর ছেদবিন্দুই $△\mathrm{ABC}$ এর লম্বকেন্দ্র $H(x,y)$

(iii) $\Rightarrow 5x+3y=25$

$\underset{―}{\left(iv\right)\times 3\Rightarrow 18x-3y=51}$

যোগ করে, $23x=76$

বা$\text{ বা, }x=\frac{76}{23}$

(iv) নং এ $x=\frac{76}{23}$ বসিয়ে পাই, $6\cdot \frac{76}{23}-y=17$

বা,$y=\frac{456}{23}-17$

$\therefore y=\frac{65}{23}$

$\therefore \mathrm{ABC}$ তিভুজুজের লম্বকেন্দ্র $H(\frac{76}{23},\frac{65}{23})$.