সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 500 মি.…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, ২য় ট্রেনের বেগ $=v$
$\therefore$ ১ম ট্রেনের বেগ $=3v$
$\therefore$ ১ম ট্রেনের দৈর্ঘ্য, $s_1=500$ মি.
২য় ট্রেনের দৈর্ঘ্য, $s_2=700$ মি.
$\therefore$ মোট দৈর্ঘ্য $s=s_1+s_2=(500+700)$ মি. $=1200$ মি.
যদি ট্রেন দুইটি একই দিক থেকে পরস্পরকে অত্তিক্রম করে তবে তাদের আপেক্ষিক বেগ, $v_r=3v-v=2v$
আবার, অড্রিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় t হলে,

$s=v_{r}t$

বা, $1200=2v\times 15$
বা, $v=40$ মি./সে.
$\therefore$ ১ম ট্রেনের বেগ $=3\times 40=120$ মি./সে.
আবার, ট্রেন দুইটি যদি পরস্পর বিপরীত দিক থেকে অতিক্রম করে তবে তাদের আপেক্ষিক বেগ, $v_r^{\prime }=3v+v=4v$
$\therefore$ অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় $t$ হলে,

$s=v_r^{\prime }t$

বা, $1200=4v\times 15$
বা, $v=20$ মি./সে.
$\therefore$ ১ম ট্রেনের বেগ $=3\times 20=60$ মি./সে.
অতএব, ট্রেন দুইটি পরস্পরকে একই দিক থেকে অতিক্রম করলে ১ম ট্রেনের বেগ হবে $120$ মি./সে.। আর বিপরীত দিক থেকে অতিক্রম করলে ১ম ট্রেনের বেগ হবে $60$ মি./সে.।

মনে করি, বস্থু কণাটির আদি বেগ $=u$ এবং ত্বরণ $=f$ 
$t$ সময় পর বস্তুকণাটির বেগ, $u_t=u+ft$ 
$t$ সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, 

$s_t=ut+\frac{1}{2}f{t}^2$ 

বা, $\frac{S_t}{t}=u+\frac{1}{2}ft$

বা, $\frac{s_t}{t}=u+ft-\frac{1}{2}ft$

বা, $\frac{s_t}{t}=u_t-\frac{1}{2}ft$$.....\left(i\right)$ 

অনুরূপভাবে, 

$(t+1)$ সময় পর, $\frac{s_{t+1}}{t+1}=u_{t+1}-\frac{1}{2}f(t+1)$$.....\left(ii\right)$  

এবং $(t-1)$ সময় পর, $\frac{s_{t-1}}{t-1}=u_{t-1}-\frac{1}{2}f(t-1)$$.....\left(iii\right)$   

(ii) $-2\times$ (i) + (iii) করি, 

$\frac{s_{t+1}}{t+1}-\frac{2s_t}{t}+\frac{s_t-1}{t-1}=u_{t+1}-\frac{1}{2}f(t+1)-2u_t+ft+u_{t-1}-\frac{1}{2}f(t-1)$ 

$=u_{t+1}-\frac{1}{2}ft-\frac{1}{2}f-2u_t+ft+u_{t-1}-\frac{1}{2}ft+\frac{1}{2}f$ 

$\therefore \frac{s_t+1}{t+1}-\frac{2s_t}{t}+\frac{s_{t-1}}{t-1}=u_{t+1}-2u_t+u_{t-1}$ (প্রমাণিত)