সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :5×2+15x−10y−4=0.দৃশ্যকল্প-২ :x−y+3=0,A(−1,1)…’ শহীদ সৈয়দ নজরুল ইসলাম কলেজ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $5x^2+15x-10y-4=0$

বা, $5(x^2+3x)=10(y+\frac{2}{5})$

বা, $x^2+2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=2(y+\frac{2}{5})$

বা, ${(x+\frac{3}{2})}^2=2y+\frac{4}{5}+\frac{9}{4}$

বা, ${(x+\frac{3}{2})}^2=2y+\frac{61}{20}$

বা, ${(x+\frac{3}{2})}^2=4\left(\frac{1}{2}\right)(y+\frac{61}{40})$

বা, $X^2=4aY$

যেখানে, $X=x+\frac{3}{2},Y=y+\frac{61}{40}$ এবং $a=\frac{1}{2}$

শীর্ষবিন্দু $(0,0)$ অর্থাৎ , $X=0$
বা, $x+\frac{3}{2}=0$
$\therefore x=-\frac{3}{2}$

এবং $Y=0$

বা, $y+\frac{61}{40}=0$

$\therefore y=-\frac{61}{40}$

$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(-\frac{3}{2},-\frac{61}{40})$  

উপকেন্দ্র $(0,a)$ অর্থাৎ, $X=0$
বা, $x+\frac{3}{2}=0$

$\therefore x=-\frac{3}{2}$ 

এবং $Y=a$
বা, $y+\frac{61}{40}=\frac{1}{2}$
বা, $y=\frac{1}{2}-\frac{61}{40}=\frac{-41}{40}$ 

উপকেন্দ্র, $S(-\frac{3}{2},-\frac{41}{40})$
দিকাক্ষের সমীকরণ, $Y=-a$
বা, $y+\frac{61}{40}=-\frac{1}{2}$
বা, $y+\frac{61}{40}+\frac{1}{2}=0$
বা, $y+\frac{81}{40}=0$

$\therefore 40y+81=0$

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $Y=a$
বা, $y+\frac{61}{40}=\frac{1}{2}$
বা, $y+\frac{61}{40}-\frac{1}{2}=0$
বা, $y+\frac{41}{40}=0$

$\therefore 40y+41=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(-\frac{3}{2},-\frac{61}{40})$, উপকেন্দ্র $(-\frac{3}{2},-\frac{41}{40})$, দিকাক্ষের সমীকরণ $40y+81=0$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ $40y+41=0$ 

বি.দ্র.: উৎকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=|4a|=(4\times \frac{1}{2})=2$ একক।

উপকেন্দ্র = A (-1, 1)

নিয়ামক রেখা : $x-y+3=0$
উত্থকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{2}$
ধরি, $P(x,y)$ উপবৃত্তের উপরস্থ একটি বিন্দু । উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$\mathrm{PA}=e.\mathrm{PM}$

বা, $\sqrt{(x+1{)}^2+(y-1{)}^2}=\frac{1}{2}\left|\frac{x-y+3}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}\right|$
বা, $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=\frac{1}{4}\frac{(x-y+3{)}^2}{2}$ [বর্গ করে]
বা, $8(x^2+2x+y^2-2y+2)=(x-y+3{)}^2$
বা, $8x^2+8y^2+16x-16y+16=x^2+y^2+9-2xy-6y+6x$
$\therefore 7x^2+7y^2+2xy+10x-10y+7=0$; ইহাই নির্পেয় উপবৃত্তের
সমীকরণ।