সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 5×2+9y2−30x=0দৃশ্যকল্প-২: একটি…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

প্রদত্ত সমীকরণ,

$5x^2+9y^2-30x=0$

$\Rightarrow 5(x^2-6x)+9y^2=0$

$\Rightarrow 5(x^2-2\cdot 3\cdot x+3^2)+9y^2=45$

$\Rightarrow 5(x-3{)}^2+9y^2=45$

$\Rightarrow \frac{(x-3{)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

ধরি, $X=x-3$

$\Rightarrow \frac{(x-3{)}^2}{3^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{5}{)}^2}=1$

$a=3,6=\sqrt{5}(a>b)$

$\therefore e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$

$\because e<1$ তাই সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।

উপকেন্দ্রিক লস্বের সমীকরণঃ

$X=\pm ae$

$\Rightarrow x-3=\pm 3\cdot \frac{2}{3}=\pm 2$

$\Rightarrow x=\pm 2+3$

ইহাই নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প ২ হতে পাই,

অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয় $(8,3)$ ও (16,3)

অধিবৃত্তটি $x$ - অক্ষের সমান্তরাল (কোটি একই)

কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $=(\frac{8+16}{2},\frac{3+3}{2})$

$=(12,3)$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=4$

উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্য্যবর্তী দুরত্ব, $2ae=\sqrt{(16-8{)}^2+(3-3{)}^2}$

$\Rightarrow 2\cdot a\cdot 4=8$

$\Rightarrow a=1$

$\therefore e=4\Rightarrow 2^2=4\Rightarrow 1+\frac{b^2}{a^2}=16$

$\Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=15\Rightarrow b^2=15\therefore b=\sqrt{15}$

$\therefore$ নির্ণেয় অর্ধবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-12{)}^2}{1}-\frac{(y-3{)}^2}{15}=1$