সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 5×3−4×2+1=0 সমীকরণের…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $5x^3-4x^2+1=0$ সমীকরণের মূলগুলো $\alpha ,\beta$ ও $\gamma$

$\therefore \alpha +\beta +\gamma =-\frac{-4}{5}=\frac{4}{5}$

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{0}{5}=0$

$\alpha \beta \gamma =-\frac{1}{5}$

$\Sigma {\alpha }^2\beta ={\alpha }^2\beta +{\alpha }^2\gamma +{\beta }^2\alpha +{\beta }^2\gamma +{\gamma }^2\alpha +{\gamma }^2\beta$

$=({\alpha }^2\beta +{\alpha }^2\gamma +\alpha \beta \gamma )+({\beta }^2\alpha +{\beta }^2\gamma +\alpha \beta \gamma )+({\gamma }^2\alpha +{\gamma }^2\beta +\alpha \beta \gamma )-3\alpha \beta \gamma$

$=\alpha (\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+\beta (\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+\gamma (\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-3\alpha \beta \gamma$

$=(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )-3\alpha \beta \gamma$

$=\frac{4}{5}\times 0-3(-\frac{1}{5})=\frac{3}{5}$

নির্ণেয় মান : $\frac{3}{5}$

দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ,

$x^3-1=0$

বা, $(x-1)(x^2+x+1)=0$

হয়, $x-1=0$

$\therefore x=1$; যা বাস্তব মূল

অথবা, $x^2+x+1=0$

$x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}[\because i=\sqrt{-1}]$

$=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$

$=\omega ,{\omega }^2$ (ধরি)

$\therefore$ সমীকরণটির জটিল মূলদ্বয়, $a=\omega$ এবং $b={\omega }^2$

এখন, $a^n+b^n={\omega }^n+{\left({\omega }^2\right)}^n={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

এখাन, $n=3m$ হলে, $a^n+b^n={\omega }^{3m}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}$

$=1+1[\because {\omega }^3=0]$

$=2$

$n=3m+1$ হলে, $a^n+b^n={\omega }^{3m+1}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+1}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot \omega +{\left({\omega }_0^3\right)}^{2m}\cdot {\omega }^2$

$=\omega +{\omega }^2[\because {\omega }^3=1]$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$n=3m+2$ হলে, $a^n+b^n={\omega }^{3m+2}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+2}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot {\omega }^2+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\left({\omega }^2\right)}^2$

$=1\cdot {\omega }^2+1\cdot {\omega }^3\cdot {\omega }^2$

$={\omega }^2+\omega [\because {\omega }^3=1]$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

অর্থাৎ, $n$ এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, $a^n+b^n=2$

অথবা, n এর মান অন্য কোন পূর্ণসংখ্যা হলে, $a^n+b^n=-1$. (প্রমাণিত)