সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 8×2−6x+1=0 সমীকরণের…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প ১ হতে, $8x^2-6x+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $a$ ও b.

$\therefore a+b=\frac{6}{8}$

বা, $a+b=\frac{3}{4}$ এবং $ab=\frac{1}{8}$

এখন, $(a+\frac{1}{b})+(b+\frac{1}{a})$

$=a+b+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$

$=a+b+\frac{a+b}{ab}$

$=\frac{3}{4}+\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}=\frac{3}{1}+\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{1}=\frac{3}{4}+6=\frac{27}{4}$

এবং $(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{a})=ab+1+1+\frac{1}{ab}$

$=\frac{1}{8}+2+8=\frac{1}{8}+10=\frac{81}{8}$

$\therefore (a+\frac{1}{b})$ এবং $(b+\frac{1}{a})$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ

$x^2-\{(a+\frac{1}{b})+(b+\frac{1}{a})\}x+(a+\frac{1}{b})\cdot (b+\frac{1}{a})=0$

বা, $x^2-\frac{27}{4}x+\frac{81}{8}=0$

বা, $8x^2-54x+81=0$; ইহাই নির্ণেয় সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২ হতে, প্রদত্ত রাশি

$=(1+3y{)}^{2n}$

এখানে 2n জোড় সংখ্যা।

অথএব, মধ্যপদ থাকবে একটি যা $(\frac{2n}{2}+1)$ তম বা $(n+1)$ তম পদ।

$\therefore (n+1)$ তম পদ

$={}^{2n}{c}_n\cdot 1^{2n-n}\cdot \left(\right(3y{)}^n$

$={}^{2n}{c}_n\cdot (3y{)}^n$

$=\frac{\left(2n\right)!}{(2n-n)!n!}(3y{)}^n=\frac{\left(2n\right)!}{n!n!}(3y{)}^n$

$=\frac{1.2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots \dots \dots .(2n-1)\left(2n\right)}{n!n!}(3y{)}^n$

$=\frac{\{1.3.5\dots \dots \dots (2n-1\left)\right\}\{2.4\cdot 6\dots \dots (2n\left)\right\}}{n!n!}(3y{)}^n$

$=\frac{\{1.3\cdot 5\dots \dots \dots (2n-1\left)\right\}\cdot 2^n(1.2.3\dots \dots .n)}{n!n!}(3y{)}^n$

$=\frac{\{1.3.5\cdots \cdots \cdots (2n-1\left)\right\}{2}^{n}n!}{n!n!}(3y{)}^n$

$=\frac{1.3.5\dots \dots \dots (2n-1)}{n!}(2.3y{)}^n$

$=\frac{1.3.5\cdots \cdots \cdots \cdot (2n-1)}{n!}{6}^n\cdot y^n$

$\therefore$ রাশিটির বিস্তৃতির মধ্যপদটির মান = $\frac{1.3.5\dots \dots ...(2n-1)}{n!}{6}^n\cdot y^n$ (প্রমাণিত)