সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: 8×3−52×2+78x−27=0 একটি…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণ:

$8x^3-52x^2+78x-27=0$

সমীকরণটির মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত হলে, $\alpha ,\alpha r,\frac{\alpha }{r}$

$\begin{array}{cc}& \therefore \alpha +\alpha r+\frac{\alpha }{r}=\frac{52}{8}\\ & \Rightarrow \alpha (1+r+\frac{1}{r})=\frac{13}{2}\dots \dots \left(i\right)\\ & \therefore \alpha \alpha r\cdot \frac{\alpha }{r}=\frac{27}{8}\\ & \Rightarrow {\alpha }^3=\frac{27}{8}\\ & \therefore \alpha =\frac{3}{2}\end{array}$

$\alpha$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& \frac{3}{2}(1+r+\frac{1}{r})=\frac{13}{2}\\ \Rightarrow & r+\frac{1}{r}=\frac{13}{3}-1=\frac{10}{3}\\ \Rightarrow & \frac{r^2+1}{r^2}=\frac{10}{3}\\ \Rightarrow & 3r^2+3=10r\\ \Rightarrow & 3r^2-10r+3=0\\ \Rightarrow & 3r^2-9r-r+3=0\\ \Rightarrow & 3r(r-3)-1(r-3)=0\\ \Rightarrow & (r-3)(3r-1)=0\\ \therefore & r=3,\frac{1}{3}\end{array}$

এখন, $\alpha r=\frac{3}{2}\times 3[r=3]$

$=\frac{9}{2}$

এবং $\alpha r=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}[r=\frac{1}{3}]$

$=\frac{1}{2}$

আবার $\frac{\alpha }{r}=\frac{3/2}{3}[\gamma =3]$

$=\frac{1}{2}$

এবং $\frac{\alpha }{r}=\frac{3/2}{1/3}[r=\frac{1}{3}]$

$=\frac{9}{2}$

$\therefore$ নির্ণয় মূলত্রয়: $\frac{3}{2},\frac{9}{2},\frac{1}{2}$

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$x^3-9x^2+14x+24=0$

ধরি, মূলত্রয় $3\alpha ,2\alpha$ এবং $\beta$

$\therefore 3\alpha +2\alpha +\beta =9$

$\Rightarrow 5\alpha +\beta =9$

$\therefore \beta =9-5\alpha \dots \dots \dots \left(i\right)$

আবার,

$3\alpha \cdot 2\alpha +2\alpha \cdot \beta +\beta \cdot 3\alpha =14$

$\Rightarrow 6{\alpha }^2+2\alpha \beta +3\alpha \beta =14$

$\Rightarrow 6{\alpha }^2+5\alpha \beta =14$

$\Rightarrow 6{\alpha }^2+5\alpha (9-5\alpha )-14=0$

$\Rightarrow 6{\alpha }^2+45\alpha -25{\alpha }^2-14=0$

$\Rightarrow -19{\alpha }^2+45\alpha -14=0$

$\Rightarrow 19{\alpha }^2-45\alpha +14=0$

$\Rightarrow 19{\alpha }^2-38\alpha -7\alpha +14=0$

$\Rightarrow 19\alpha (\alpha -2)-7(\alpha -2)=0$

$\Rightarrow (\alpha -2)(19\alpha -7)=0$

$\therefore \alpha =2,\frac{7}{19}$

$\alpha =2$ হলে, (i) নং থেকে, $\beta =9-5\times 2=-1$

$\alpha =\frac{7}{19}$ হলে, (i) নং থেকে, $\beta =9-5\times \frac{7}{19}=\frac{136}{19}$

আবার, $3\alpha \cdot 2\alpha \cdot \beta =-24$

$\Rightarrow 6{\alpha }^2\beta =-24$

এখন, $\alpha =2$ এবং $\beta =-1$ হলে,

$\therefore 6{\alpha }^2\beta =6\times 2^2\times (-1)=-24$

আবর, $\alpha =\frac{7}{19}$ এবং $=\beta =\frac{136}{9}$ হলে,

$\therefore 6{\alpha }^2\beta =6\times {\left(\frac{7}{19}\right)}^2\times \frac{136}{9}=6\times \frac{49}{36}\times \frac{136}{9}\ne -24$

$\therefore$ নির্ণয় সমাধান :

$3\alpha =6$

$2\alpha =4$

$\beta =-1$